基本数据类型的精度和范围

Java中的数据类型分为：基本数据类型和引用数据类型。如下图所示：

下面主要要讨论的是基本数据类型的数据表示范围是如何得到的。

1.首先应该对计算机的存储单元有一定的了解。

在计算机里无论是内存还是硬盘，计算机存储设备的最小信息单元叫“位（bit）”,我们又称其为“比特位”，通常用小写字母b表示。

而计算机最小的存储单元叫“字节（byte）”,通常用大写字母B表示，字母是由连续的8个位组成。

1 B (字节)= 8 bit（位）。

2.了解了字节与比特位的关系之后，我们再来讨论byte的取值范围 。

A.理解为什么是-128~127共256个值

byte 由1个字节组成，即是由8个位组成的。其中最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。

8位二进制可以表示256个值。正负平均分的话可以各128个，这里把0看做正数。

所以正数为：0-127 共128个值，负数为： -1  ~ – 128  共 128个值。

B.再看看这些值在计算机中是如何表示的

首先应该知道的是符号数在计算机中都是以补码的形式存储的。

正数为 0~127  即 0000 0000    ~    0111 1111。  （正数的补码等于其原码）

负数为 -1 ~-128 即 1111 1111  ~10000000 。 （负数的补码表示，其补码等于其绝对值的原码按位取反后加一得到）

-1 的绝对值为 1， 1的表示方法为0000 0001  将它按位取反后得： 1111 1110  再加1得： 1111 1111 。

-128 的绝对值为 128， 128 的表示方法为1000 000  将它按位取反后得：0111 1111 再加1 得 ：1000 0000 。

这里的最高位为符号位即0000 0000 和 1000 0000 分别表示 +0 和 -0 。而0只需要一个表示就可以了，为了充分利用空间这里把+0保留最为0。 而 -0 把它表示为负数。

（这里是关键，也就是说-0的补码用来表示-128了，而-0的补码”10000000″通过逆向计算刚好得到-128这个值）。

short 、int、long的取值范围同理可得其取值范围。

（注意：表示长整型时，在数字后面加L或l，eg:125L）。

3.最后讨论float和double类型的取值范围和精度。

A.float和double类型的取值范围

float 和 double 在计算机中分别占 4 个字节 和 8 个字节。

float共32位的分布为 ：1bit（符号位） + 8bits（指数位）+ 23bits（尾数位）

double共64位的分布为：1bit（符号位）+ 11bits（指数位）+ 52bits（尾数位）

在数学中，特别是在计算机相关的数字（浮点数）问题的表述中，有一个基本表达法：
value of floating-point = significand x base ^ exponent , with sign 
译为中文表达即为：（浮点）数值 =      尾数    ×    底数 ^ 指数，（附加正负号）

可知float和double的范围是由指数的位数来决定的。

其指数位是由补码的形式来表示的。

float 的指数位为8位，于是float的指数范围为：-127~128      

double的指数位为11位，于是double的指数范围为：-1023~1024

（这里float的指数位8位的取值范围按补码表示应该为-127~127，多余一个补码为1000 000 ，在byte字节的取值中 1000 0000 表示 -128，在float中表示+128）

其中负指数决定了浮点数所能表达的绝对值最小的非零数；而正指数决定了浮点数所能表达的绝对值最大的数，也即决定了浮点数的取值范围。

所以float的范围为 -2 ^128 ~  2^128，即约为：-3.40E38 ~ +3.40E38；

double的范围为-2^1024 ~ +2^1024，即约为：-1.79E308 ~ +1.79E308。

B.float和double类型的精度

float和double的精度是由尾数的位数决定的。

浮点数在内存中是按科学计数法来存储的，其整数部分始终是一个隐含着的“1”，由于它是不变的，故不能对精度造成影响。

（8.25用十进制的科学计数法表示为:8.25*10E0，用二进制表示可表示为1000.01，用二进制科学计数法表示为：1.0001*2E3

 120.5用十进制的科学计数法表示为:1.205*10E2，用二进制表示为：1110110.1,用二进制科学计数法表示为：2.1101101*2E6

可见任何一个数都的科学计数法表示都为1.xxx*2En, 尾数部分就表示为xxxx）

float：2^23 = 8388608，共七位，意味着最多能有7位有效数字，但绝对能保证的为6位，也即float的精度为6~7位有效数字；
double：2^52 = 4503599627370496，一共16位，同理，double的精度为15~16位。