【好书推荐】《剑指Offer》之硬技能（编程题12~16）
本文例子完整源码地址：https://github.com/yu-linfeng/BlogRepositories/tree/master/repositories/sword
《【好书推荐】《剑指Offer》之软技能》
《【好书推荐】《剑指Offer》之硬技能（编程题1~6）》
《【好书推荐】《剑指Offer》之硬技能（编程题7~11）》
持续更新，敬请关注公众号:coderbuff，回复关键字“sword”获取相关电子书。
12.矩阵中的路径
题目：请设计一个函数，用来判断一个矩阵中是否存在一条包含其字符串所有字符的路径。路径可以从矩阵中的任意一格开始，每一步可以在矩阵中向左、右、上、下移动一格。如果一条路径经过了矩阵的某一格，那么该路径不能再次进入该格子。
*回溯法：适合由多个步骤组成的问题，并且每个步骤有多个选项。
1 /** 2 * 矩阵中是否存在给定路径 3 * @author OKevin 4 * @date 2019/6/4 5 **/ 6 public class Solution { 7 8 /** 9 * 10 * @param matrix 一位数组表示矩阵 11 * @param rows 行数 12 * @param cols 列数 13 * @param path 路径 14 * @return true-存在；false-不存在 15 */ 16 public boolean findPath(char[] matrix, Integer rows, Integer cols, char[] path) { 17 if (matrix == null || rows <= 0 || cols <= 0 || path == null) { 18 return false; 19 } 20 boolean[] visited = new boolean[rows * cols]; 21 int pathLength = 0; 22 for (int row = 0; row < rows; row++) { 23 for (int col = 0; col < cols; col++) { 24 if (findPathCore(matrix, rows, cols, row, col, path, pathLength, visited)) { 25 return true; 26 } 27 } 28 } 29 return false; 30 } 31 32 private boolean findPathCore(char[] matrix, Integer rows, Integer cols, int row, int col, char[] path, int pathLength, boolean[] visited) { 33 if (pathLength == path.length) { 34 return true; 35 } 36 if (row >= 0 && row < rows && col >= 0 && col < cols && matrix[row * cols + col] == path[pathLength] && !visited[row * cols + col]) { 37 visited[row * cols + col] = true; 38 pathLength++; 39 if (findPathCore(matrix, rows, cols, row, col - 1, path, pathLength, visited) 40 || findPathCore(matrix, rows, cols, row - 1, col, path, pathLength, visited) 41 || findPathCore(matrix, rows, cols, row, col + 1, path, pathLength, visited) 42 || findPathCore(matrix, rows, cols, row + 1, col, path, pathLength, visited)) { 43 return true; 44 } 45 visited[row * cols + col] = false; 46 47 } 48 return false; 49 } 50 }
13.机器人的运动范围
题目：地上有一个m行n列的小方格，一个机器人从坐标（0，0）的格子开始移动，它每次可以向上、下、左、右移动一格，但不能进入行坐标和列坐标的数位之和大于k的格子。例如：当k=18，机器人能够进入方格（35，37），因为3+5+3+7=18，但不能进入（35，38），因为3+5+3+8=19。请问k=18时，机器人能够到达多少个格子。
此题有一个小的点需要靠平时的积累，数位和的计算。
1 /** 2 * 计算数位和 3 * 例如：85的数位和为8+5=13 4 * 计算过程： 5 * 85 % 10 = 5（个位） 6 * 85 / 10 = 8（移除个位） 7 * 8 % 10 = 8（十位） 8 * 5 + 8 = 13 9 * @param number 数字 10 * @return 数位和 11 */ 12 private int getDigitSum(int number) { 13 int sum = 0; 14 while (number > 0) { 15 sum += number % 10; 16 number /= 10; 17 } 18 return sum; 19 }
另外还需要注意几个临界条件：
访问的行和列一定是大于等于0；
访问的行和列一定是小于总行数和总列数（并不是小于等于，因为是从第0行开始）
行和列的数位和小于阈值
没有被访问过
row >= 0 && row < rows && col >= 0 && col < cols && (getDigitSum(row) + getDigitSum(col) < threshold) && !visited[row * cols + col]
题目中看似提到了m行n列，立马想到了用二维数字来表示。实际上如果用二维数组是增加了复杂性，用一维数组同样能表示出二维数组。例如：m行n列就一共又m*n个元素，visited[m*n]。访问第1行第1列，在一维数组中则为visited[1*m+1]，访问第1行第2列则为visited[1*m+2]，也就是在一位数组中，数据是按照一列一列存放的。如果要访问第2行是2*cols+第几列。
另外既然需要求出达到多少个格子，则是需要访问格子周围即：(i – 1, j)、(i, j – 1)、(i + 1, j)、(i, j + 1)。
1 /** 2 * Description: 3 * 机器人的运动范围 4 * 2019-06-18 5 * Created with OKevin. 6 */ 7 public class Solution { 8 public int movingCount(int threshold, int rows, int cols) { 9 if (threshold < 0 || rows <= 0 || cols <= 0) { 10 return 0; 11 } 12 boolean[] visited = new boolean[rows * cols]; 13 int count = movingCountCore(threshold, rows, cols, 0, 0, visited); 14 return count; 15 } 16 17 private int movingCountCore(int threshold, int rows, int cols, int row, int col, boolean[] visited) { 18 int count = 0; 19 if (check(threshold, rows, cols, row, col, visited)) { 20 visited[row * cols + col] = true; 21 /** 22 * 当前访问到了(i, j)坐标，此时则继续访问(i - 1, j)、(i, j - 1)、(i + 1, j)、(i, j + 1) 23 */ 24 count = 1 + movingCountCore(threshold, rows, cols, row - 1, col, visited) + movingCountCore(threshold, rows, cols, row, col-1, visited) + movingCountCore(threshold, rows, cols, row + 1, col, visited) + movingCountCore(threshold, rows, cols, row + 1, col, visited); 25 } 26 return count; 27 } 28 29 private boolean check(int threshold, int rows, int cols, int row, int col, boolean[] visited) { 30 //横坐标与纵坐标的数位和相加小于阈值，且没有访问过 31 if (row >= 0 && row < rows && col >= 0 && col < cols && (getDigitSum(row) + getDigitSum(col) <= threshold) && !visited[row * cols + col]) { 32 return true; 33 } 34 return false; 35 } 36 37 /** 38 * 计算数位和 39 * 例如：85的数位和为8+5=13 40 * 计算过程： 41 * 85 % 10 = 5（个位） 42 * 85 / 10 = 8（移除个位） 43 * 8 % 10 = 8（十位） 44 * 5 + 8 = 13 45 * @param number 数字 46 * @return 数位和 47 */ 48 private int getDigitSum(int number) { 49 int sum = 0; 50 while (number > 0) { 51 sum += number % 10; 52 number /= 10; 53 } 54 55 return sum; 56 } 57 }
14.剪绳子
题目：一段长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1且m>1），每段绳子的长度为k[0]、k[1]、……、k[m]。请问k[0]*k[1]*……*k[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2，3，3的三段，此时的最大乘积是18。
这道题是求解最优化问题。理论上讲，在题目中出现最大、最小、一共有多少种解法都可以用动态规划求解。
解法一：动态规划
拿到这道题，习惯性的可能会先从由上往下的解题思路去想，比如：长度为9，可以分为几段：1，1，7；1，2，6等等。会去思考这个长度会分成几个段，再将每个段的乘积求出来，取最大的那个段。
但实际上，对于求解最优化问题，可以转换为一系列子问题。对于本题一段绳子来讲，它无论如何都至少被切为2段。例如长度为8时，可能被切为：1,7；2,6；3,5；4,4。当然还有5,3，这实际上又和前面重复了，所以一段绳子如果被切为2段，就只有n/2种可能性。
切为2段并不是最终的最大乘积长度，例如8切为了以上4种可能性的两段，并不意味着8的切成m段的最大乘积长度为15（3*5）。它当然还能切为2*3*3=18。那为什么说只需要切为2段呢？
这是因为我们需要把这个问题不断地划分为小的问题。
例如8被切为了1和7，这两段不能再继续切分，它就是最小的问题；同理，8被切为了2和6，但是6仍然可以继续被切为1和5，2和4，3和3，所以2和6并不是最小的问题，以此类推，最终推出长度为6的绳子切成m段的最大乘积是9（3*3），那么8被切为2和6时，2*9就等于18。同理继续推3和5，4和4。
上面的分析得出了什么样的结论呢？结论就是，只需要想象成2段，再各自继续切2段。也就是说假设长度为n的绳子，f(n)是它的各段最大乘积长度，它在被切第一刀时，第一段长度为（1,2,…n-1），第二段的长度为(n-1,n-2,…,1)。推出f(n)=max(f(i)*f(n-1))的关联关系。这里一定需要好好理解，切成2段后，并不是直接将两段相乘，而是再继续将各段切分直至不能再切且取最大乘积长度。
在《算法笔记》（刁瑞 谢妍著）一书中对动态规划做了求解步骤的总结：
定义子问题
定义状态转换规则，即递推关系
定义初始状态
套用到这套题上，我认为就是需要明确以下3点：
该问题的核心在于求出每段的最大乘积长度，这是子问题，也就是上文所述，再被切为两段时，需要明确是否能继续切直至不能再切且取最大乘积长度。
递推关系，也已明确(n)=max(f(i)*f(n-1))
初始状态，长度为1不能切，长度为2最长为1，长度为3最长为2。
1 /** 2 * Description: 3 * 剪绳子——动态规划 4 * 2019-06-19 5 * Created with OKevin. 6 */ 7 public class Solution1 { 8 9 public int maxProductAfterCutting(int length) { 10 if (length < 2) { 11 return 0; 12 } 13 if (length == 2) { 14 return 1; 15 } 16 if (length == 3) { 17 return 2; 18 } 19 int[] products = new int[length + 1]; //数组中存储的是每段的最优解 20 //大于长度3的绳子，当然可以划分出1,2,3长度的绳子 21 products[0] = 0; 22 products[1] = 1; 23 products[2] = 2; 24 products[3] = 3; 25 int max = 0; 26 for (int i = 4; i <= length; i++) { 27 max = 0; 28 for (int j = 1; j <= i / 2; j++) { //除以2的原因在上文中也以提到，将一段绳子划分为2段时，实际上中间后的切分和前面是重复的 29 int product = products[j] * products[i - j]; //递推关系f(i)*f(n-1) 30 if (max < product) { 31 max = product; 32 } 33 products[i] = max; 34 } 35 } 36 max = products[length]; 37 return max; 38 } 39 }
优点：动态规划类似于分治算法，将大的问题逐步划分为小的问题求解。
缺点：此题采用动态规划的时间复杂度为O(n^2)，且空间复杂度为O(n)
解法二：贪婪算法
贪婪算法的核心是，先挑最大的，再挑比较大的，再挑小的（贪婪嘛）。
本题对于长度为n（n>=5）的绳子应尽量多划分为长度3的段。对于长度为4的段，应划分为长度为2的段。
也即是，如果长度为10，那么10/3=3个长度为3的段，划分结果为3*3*3*1，最后一个段为1，划分为3*3*4。
1 /** 2 * Description: 3 * 剪绳子——贪婪算法 4 * 2019-06-20 5 * Created with OKevin. 6 */ 7 public class Solution2 { 8 public int maxProductAfterCutting(int length) { 9 if (length < 2) { 10 return 0; 11 } 12 if (length == 2) { 13 return 1; 14 } 15 if (length == 3) { 16 return 2; 17 } 18 int timesOf3 = length / 3; 19 if (length - timesOf3 * 3 == 1) { 20 timesOf3 -= 1; 21 } 22 int timesOf2 = (length - timesOf3*3) / 2; 23 return (int) (Math.pow(3, timesOf3) * Math.pow(2, timesOf2)); 24 } 25 }
15.二进制中1的个数
题目：请实现一个函数，输入一个整数，输出该数二进制表示中1的个数。例如，把9表示成二进制是1001，有2位是1。因此，如果输入9，则该函数输出2。
此题可采用移位运算+与运算求解
1 /** 2 * Description: 3 * 移位运算+与运算 4 * 2019-06-20 5 * Created with OKevin. 6 */ 7 public class Solution { 8 public int NumberOf1(int num) { 9 int count = 0; 10 while (num != 0) { 11 if ((num & 1) == 1) { 12 count++; 13 } 14 num = num >>> 1; //因为运算>>>表示无符号右移，意味着如果是负数，仍然会向右移，同时用0补齐。如果使用>>有符号右移，那么符号位1永远会存在，也就是会产生死循环 15 } 16 return count; 17 } 18 }
16.数值的整数次方
题目：实现函数Math.pow，求m的n次方。
循环暴力法
1 /** 2 * Description: 3 * 循环暴力法 4 * 2019-06-20 5 * Created with OKevin. 6 */ 7 public class Solution1 { 8 public int pow(int m, int n) { 9 int result = 1; 10 for (int i = 0; i < n; i++) { 11 result *= m; 12 } 13 return result; 14 } 15 }
很遗憾，这种解法连校招级都算不上，顶多算是刚学习编程时的水平。
其实这道题，并没有考查过多的算法，更多的是考查对细节的把握。一个数的整数次方，不光是整数，还有可能是负数，也有可能是0。如果数值为0，则0的幂是没有意义的。
1 /** 2 * Description: 3 * 考虑指数为0，负数，整数；数值为0的情况;0^0在数学上没有意义 4 * 2019-06-21 5 * Created with OKevin. 6 */ 7 public class Solution2 { 8 9 public double pow(int m, int n) { 10 double result = 0; 11 if (m == 0 && n < 0) { 12 return -1; 13 } 14 int absN = Math.abs(n); //取绝对值 15 result = calc(m, absN); 16 if (n < 0) { 17 result = 1 / result; 18 } 19 return result; 20 } 21 22 private int calc(int m, int n) { 23 int result = 1; 24 for (int i = 0; i < n; i++) { 25 result *= m; 26 } 27 return result; 28 } 29 }
改进后的代码考虑到了指数是负数的情况。但实际上这仍然有优化的空间。如果指数是32，意味着calc方法需要循环31次。然而实际上循环到一半的时候就可以求它本身。也就是说a^n/2 * a^n/2，n为偶数；a^(n-1)/2 * a^(n-1)/2 * a，n为奇数。
改进后的calc方法：
1 private int calc(int m, int n) { 2 if (n == 0) { 3 return 1; 4 } 5 if (n == 1) { 6 return m; 7 } 8 int result = calc(m, n >> 1); //右移1位表示除以2 9 result *= result; 10 if ((m & 1) == 1) { //位运算判断是会否为奇数，奇数的二进制第一位一定是1与1做与运算即可判断是否为奇数，代替m%2是否等于0 11 result *= m; 12 } 13 return result; 14 }
本文例子完整源码地址：https://github.com/yu-linfeng/BlogRepositories/tree/master/repositories/sword
《【好书推荐】《剑指Offer》之软技能》
《【好书推荐】《剑指Offer》之硬技能（编程题1~6）》
《【好书推荐】《剑指Offer》之硬技能（编程题7~11）》
持续更新，敬请关注公众号:coderbuff，回复关键字“sword”获取相关电子书。
这是一个能给程序员加buff的公众号 （CoderBuff）
相关文章