C++动态规划中关于背包问题讲解

2023-03-15 11:03:17 规划 讲解 背包

一、分割等和子集-最后一块石头的重量II

背包问题,难点往往在第一步:dp数组表示什么

分割等和子集问题,较好的方式是:求装满背包后最大重量是多少(有点绕哈哈)

这是个题型:对于判断能不能恰好装满背包的问题,用dp表示重量,判断是否最终的dp[m]==m

bool canPartition(int* nums, int numsSize){
    //首先数组元素求和的sum,若sum%2==1,返回false
    //若sum%2==0,定义m=sum/2,n=numsSize
    //则问题变成了能否装满容量为m的背包
    //进一步变成了求装满容量为m的背包得到的最大价值量(本题价值量即为重量)
    //1.dp[j]表示装满容量为j的背包能获得的最大价值量
    //2.递推式:dp[j]=fmax(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);
    //3.dp数组初始化:dp[i]=0;
    //4.遍历顺序:0-1背包顺序(滚动数组)
    int sum=0;
    for(int i=0;i<numsSize;i++) sum+=nums[i];
    if(sum%2==1) return false;
    int m=sum/2,n=numsSize;
    int dp[m+1];
    for(int j=0;j<=m;j++) dp[j]=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=m;j>=nums[i];j--)
            dp[j]=fmax(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);
    }
    if(dp[m]==m) return true;
    else return false;
}

二、目标和

求组合数模板:dp[0]=1;dp[j]+=dp[j-nums[i]];

int findTargetSumWays(int* nums, int numsSize, int target){
    //首先数组元素求和的sum,若满足题意,m+(m-target)=sum
    //若(sum+target)%2==1,返回0;
    //若sum<abs(target),返回0;
    //否则,有m=(sum+target)/2;
    //问题就变成了整数m可以有多少表达式表示出
    //进一步变成了求装满容量为m的背包的最大组合数
    //1.dp[j]表示装满容量为j的背包的最大表达式的组合数
    //2.递推式:
    //组合问题模板:dp[0]=1;dp[j]+=dp[j-nums[i]];
    //3.dp数组初始化:dp[i]=0;dp[0]=1;
    int sum=0;
    for(int i=0;i<numsSize;i++) sum+=nums[i];
    if(sum<abs(target)||(sum+target)%2==1) return 0;
    int m=(sum+target)/2,n=numsSize;
    int dp[m+1];
    for(int i=1;i<=m;i++) dp[i]=0;
    dp[0]=1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=m;j>=nums[i];j--)
            dp[j]+=dp[j-nums[i]];
    }
    return dp[m];
}

三、一和零

注意二维滚动数组不能写在同一个for循环中,这题背一下

int findMaxFORM(char ** strs, int strsSize, int m, int n){
    //本题是二维背包,不过是比一维多了一步而已
    //1.dp[i][j]表示背包容量为i个0、j个1时,最多能装的物品个数
    //2.递推式:
    //dp[i][j]=fmax(dp[i][j],dp[i-cnt0][j-cnt1]+1);
    //3.dp数组初始化:
    //dp[i][j]=0;
    //4.遍历顺序:二维滚动数组(注意不能把i和j写在同一个for循环中)
    int dp[m+1][n+1];
    for(int i=0;i<=m;i++){
        for(int j=0;j<=n;j++)
            dp[i][j]=0;
    }
    for(int k=0;k<strsSize;k++){
        int cnt0=0,cnt1=0;
        int len=strlen(strs[k]);
        for(int i=0;i<len;i++){
            if(strs[k][i]=='0') cnt0++;
            else cnt1++;
        }
        for(int i=m;i>=cnt0;i--){
            for(int j=n;j>=cnt1;j--){
                dp[i][j]=fmax(dp[i][j],dp[i-cnt0][j-cnt1]+1);
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
}

四、零钱兑换II

多重背包和0-1背包唯一的区别在遍历顺序

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历,为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的,所以要从小到大去遍历

int change(int amount, int* coins, int coinsSize){
    int m=amount,n=coinsSize;
    int dp[m+1];
    for(int i=1;i<=m;i++) dp[i]=0;
    dp[0]=1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=coins[i];j<=m;j++)
            dp[j]+=dp[j-coins[i]];
    }
    return dp[m];
}

五、排列与组合

组合总数IV(排列问题)

本题要求的是排列数(即考虑排列顺序)

求排列数,外层遍历重量,内层遍历物品,且均为从左到右遍历

int combinationSum4(int *nums,int n,int m){
    //1.dp[j]表示背包容量为j时,有多少种方法能使背包被装满“
    //2.递推式:
    //dp[j]+=dp[j-nums[i]];
    //3.初始化:
    //dp[i]=0;dp[0]=1;
    //4.遍历顺序:
    //本题要求的是排列数(即考虑排列顺序)
    //求排列数,外层遍历重量,内层遍历物品,且均为从左到右遍历
    int dp[m+1];
    for(int i=1;i<=m;i++) dp[i]=0;
    dp[0]=1;
    for(int j=0;j<=m;j++){
        for(int i=0;i<n;i++){
            if(j>=nums[i]&&dp[j]<INT_MAX-dp[j-nums[i]])
                dp[j]+=dp[j-nums[i]];
        }
    }
    return dp[m];
}

零钱兑换(组合问题)

本题要求的是组合数(即不考虑排列顺序)

求组合数,外层遍历物品,内层遍历重量,且均为从左到右遍历

int int coinChange(int* coins, int coinsSize, int amount){
    //1.dp[j]表示背包容量为j时,有多少种方法能使背包被装满“
    //2.递推式:
    //dp[j]+=dp[j-coins[i]];
    //3.初始化:
    //dp[i]=0;dp[0]=1;
    //4.遍历顺序:
    //本题要求的是组合数(即不考虑排列顺序)
    //求组合数,外层遍历物品,内层遍历重量,且均为从左到右遍历
    int m=amount,n=coinsSize;
    int dp[m+1];
    for(int i=1;i<=m;i++) dp[i]=0;
    dp[0]=1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=coins[i];j<=m;j++)
            dp[j]+=dp[j-coins[i]];
    }
    return dp[m];
}

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