Python稀疏矩阵scipy.sparse包使用详解

2023-02-16 12:02:29 矩阵 稀疏 详解

1. 前言

数组和矩阵是数值计算的基础元素。目前为止,我们都是使用NumPy的ndarray数据结构来表示数组,这是一种同构的容器,用于存储数组的所有元素。

有一种特殊情况,矩阵的大部分元素都为零,这种矩阵被称为稀疏矩阵。对于稀疏矩阵,将所有零保存在计算机内存中的效率很低,更合适的方法是只保存非零元素以及位置信息。于是SciPy应运而生,为稀疏矩阵的表示及其线性代数运算提供了丰富易用的接口。

2. 导入包

SciPy中提供了稀疏矩阵模块scipy.sparse,为稀疏矩阵的表示及其线性代数运算提供了丰富易用的接口。

import scipy.sparse as sp
import scipy.sparse.linalg
import scipy.linalg as la

3. 稀疏矩阵总览

There are seven available sparse matrix types:
    1. csc_matrix: Compressed Sparse Column fORMat
    2. csr_matrix: Compressed Sparse Row format
    3. bsr_matrix: Block Sparse Row format
    4. lil_matrix: List of Lists format
    5. dok_matrix: Dictionary of Keys format
    6. coo_matrix: COOrdinate format (aka IJV, triplet format)
    7. dia_matrix: DIAGonal format
  • sp.coo_matrix(坐标的列表)描述:将非零值及其行列信息保存在一个列表。构造简单,添加元素方便,但访问元素效率低下;
  • sp.lil_matrix(列表的列表):将每行的非零元素列索引保存在一个列表,将对应值保存在另一个列表。支持切片操作,但不方便进行数学运算;
  • sp.dok_matrix(值的字典):将非零值保存在字典,非零值的坐标元组作为字典的键。构造简单,可快速添加删除元素,但不方便进行数学运算;
  • sp.dia_matrix(对角矩阵):矩阵的对角线列表 。对于对角矩阵非常有效 ,但不适用非对角矩阵;
  • sp.csc_matrix 和 sp.csr_matrix(压缩列格式和压缩行格式):将值与行列索引的数组一起存储。对于矩阵的向量乘法很高效,但构造相对复杂;
  • sp.bsr_matrix(块稀疏矩阵):与CSR类似,用于具有稠密子矩阵的稀疏矩阵。对于此类特殊矩阵很高效,但不适用一般矩阵。

注意:

  • 为了有效地构建矩阵,使用dok_matrix或者lil_matrix,lil_matrix类支持基本的切片和索引操作,语法与NumPy的arrays相似。
  • COO格式也能有效率地构建矩阵。尽管与NumPy有许多相似性,但是强烈不建议使用NumPy的函数直接对稀疏矩阵格式进行操作,因为可能导致不正确的结果。如果将NumPy的函数用在这些矩阵上,首先检查SciPy在对应的稀疏矩阵类上有没有已经实现的操作,或者使用toarray()方法将稀疏矩阵对象转为NumPy的array。
  • 实现乘法与转置操作,则转为CSC或CSR格式,lil_matrix格式是基于行的,所以转为为CSR比CSC更有效率。所有的转换在CSR,CSC和COO格式之间都是有效的,线性时间操作。

4. 稀疏矩阵详细介绍

4.1 coo_matrix

coo_matrix是最简单的存储方式。采用三个数组row、col和data保存非零元素的行下标,列下标与值。这三个数组的长度相同一般来说,coo_matrix主要用来创建矩阵,因为coo_matrix无法对矩阵的元素进行增删改等操作,一旦创建之后,除了将之转换成其它格式的矩阵,几乎无法对其做任何操作和矩阵运算。

1

为了创建sp.coo_matrix对象,需要创建非零值、行索引以及列索引的列表或数组,并将其传递给生成函数sp.coo_matrix。

values = [1, 2, 3, 4]
rows = [0, 1, 2, 3]
cols = [1, 3, 2, 0]
A = sp.coo_matrix((values, (rows, cols)), shape=[4, 4])
A

2

>>> A.toarray()
array([[1, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 2],
       [0, 0, 3, 0],
       [4, 0, 0, 0]])
>>> type(A)
<class 'scipy.sparse.coo.coo_matrix'>
>>> type(A.toarray())
<class 'numpy.ndarray'>

SciPy的sparse模块中稀疏矩阵的属性大部分派生自NumPy的ndarray对象,同时也包括nnz(非零元素数目)和data(非零值)等属性。

A.shape, A.size, A.dtype, A.ndim

3

A.nnz, A.data

在这里插入图片描述

对于sp.coo_matrix对象,还可以使用row和col属性来访问底层的行列坐标数组。

A.row, A.col

4.2 dok_matrix

dok_matrix适用的场景是逐渐添加矩阵的元素。dok_matrix的策略是采用字典来记录矩阵中不为0的元素。所以字典的key存的是记录元素的位置信息的元祖,value是记录元素的具体值。

>>> S = sparse.dok_matrix((5, 5), dtype=np.float32)
>>> for i in range(5):
    	for j in range(5):
        	S[i,j] = i+j    # 更新元素
>>> S.toarray()
[[0. 1. 2. 3. 4.]
 [1. 2. 3. 4. 5.]
 [2. 3. 4. 5. 6.]
 [3. 4. 5. 6. 7.]
 [4. 5. 6. 7. 8.]]

优点:对于递增的构建稀疏矩阵很高效,比如定义该矩阵后,想进行每行每列更新值,可用该矩阵。当访问某个单元,只需要O(1)

缺点:不允许重复索引(coo中适用),但可以很高效的转换成coo后进行重复索引。

4.3 lil_matrix

lil_matrix适用的场景也是逐渐添加矩阵的元素。与dok不同,lil_matrix则是使用两个列表存储非0元素。data保存每行中的非零元素,rows保存非零元素所在的列。这种格式也很适合逐个添加元素,并且能快速获取行相关的数据。

>>> l = sparse.lil_matrix((4, 4))
>>> l[1, 1] = 1
>>> l[1, 3] =2
>>> l[2, 3] = 3
>>> l.toarray()
array([[0., 0., 0., 0.],
       [0., 1., 0., 2.],
       [0., 0., 0., 3.],
       [0., 0., 0., 0.]])
>>> l.data
array([list([]), list([1.0, 2.0]), list([3.0]), list([])], dtype=object)
>>> l.rows
array([list([]), list([1, 3]), list([3]), list([])], dtype=object)

优点:适合递增的构建成矩阵、转换成其它存储方式很高效、支持灵活的切片。

缺点:当矩阵很大时,考虑用coo、算术操作,列切片,矩阵向量内积操作慢。

4.4 dia_matrix

如果稀疏矩阵仅包含非0元素的对角线,则对角存储格式(DIA)可以减少非0元素定位的信息量。这种存储格式对有限元素或者有限差分离散化的矩阵尤其有效。dia_matrix通过两个数组确定: data和offsets。其中data对角线元素的值;offsets:第i个offsets是当前第i个对角线和主对角线的距离。data[k:]存储了offsets[k]对应的对角线的全部元素。例子如下:

在这里插入图片描述

>>> data = np.array([[1, 2, 3, 4], [5, 6, 0, 0], [0, 7, 8, 9]])
>>> offsets = np.array([0, -2, 1])
>>> sparse.dia_matrix((data, offsets), shape=(4, 4)).toarray()
array([[1, 7, 0, 0],
       [0, 2, 8, 0],
       [5, 0, 3, 9],
       [0, 6, 0, 4]])

注意:offsets[0]=0表示第0个对角线与主对角线的距离为0,表示第0个对角线就是主对角线,data[0]就是第0个对角线的值。offsets[1]=-2表示第1个对角线与主对角线距离为-2,此时该对角线在主对角线的左下方,对角线上数值的数量为4-2=2,对应的值为data[1, :2+1],此时data[1, 3:]为无效的值,在构造对角稀疏矩阵时不起作用。offsets[2]=1表示第2个对角线与主对角线距离为1,此时该对角线在主对角线的右上方,对角线上数值的数量为4-1=3,对应的值为data[2, 1:],此时data[2, :1]为无效的值,在构造对角稀疏矩阵时不起作用。

4.5 csc_matrix & csr_matrix

csr_matrix是按行对矩阵进行压缩的,csc_matrix则是按列对矩阵进行压缩的。通过row_offsets,column_indices,data来确定矩阵。column_indices,data与coo格式的列索引与数值的含义完全相同,row_offsets表示元素的行偏移量。例子如下,

>>> indptr = np.array([0, 2, 3, 6])
>>> indices = np.array([0, 2, 2, 0, 1, 2])
>>> data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
>>> csr_matrix((data, indices, indptr), shape=(3, 3)).toarray()
array([[1, 0, 2],
       [0, 0, 3],
       [4, 5, 6]])

注意:indices和data分别表示列索引和数据,第 i 行的列索引存储在indices[indptr[i]:indptr[i+1]] 中,对应的值为data[indptr[i]:indptr[i+1]]。即第0行的列索引为indices[0:2]=[0,2],值为data[0:2]=[1,2];第1行的列索引为indices[2:3]=[2],值为data[2:3]=[3]…

CSR格式常用于读入数据后进行稀疏矩阵计算。

两者的优缺点互反:

  • CSR优点:高效的稀疏矩阵算术操作、高效的行切片、快速地矩阵向量内积操作;
  • CSR缺点:缓慢地列切片操作(可以考虑csc)、转换到稀疏结构代价较高(可以考虑lil,dok)。
  • CSC优点:高效的稀疏矩阵算术操作、高效的列切片、快速地矩阵向量内积操作(不如csr,bsr块);
  • CSC缺点:缓慢地行切片操作(可以考虑csr)、 转换到稀疏结构代价较高(可以考虑lil,dok)。

4.6 bsr_matrix

基于行的块压缩,通过row_offsets,column_indices,data来确定矩阵。与csr相比,只是data中的元数据由0维的数变为了一个矩阵(块),其余完全相同。

>>> indptr = np.array([0,2,3,6])
>>> indices = np.array([0,2,2,0,1,2])
>>> data = np.array([1,2,3,4,5,6]).repeat(4).reshape(6,2,2)
>>> bsr_matrix((data,indices,indptr), shape=(6,6)).todense()
matrix([[1, 1, 0, 0, 2, 2],
        [1, 1, 0, 0, 2, 2],
        [0, 0, 0, 0, 3, 3],
        [0, 0, 0, 0, 3, 3],
        [4, 4, 5, 5, 6, 6],
        [4, 4, 5, 5, 6, 6]])

优点:很类似于csr,更适合于矩阵的某些子矩阵很多值,在某些情况下比csr和csc计算更高效。

5. 稀疏矩阵的存取

5.1 用save_npz保存单个稀疏矩阵

>>> scipy.sparse.save_npz('sparse_matrix.npz', sparse_matrix)
>>> sparse_matrix = scipy.sparse.load_npz('sparse_matrix.npz')

稀疏矩阵存储大小比较:

a = np.arange(100000).reshape(1000,100)
a[10: 300] = 0
b = sparse.csr_matrix(a)
# 稀疏矩阵压缩存储到npz文件
sparse.save_npz('b_compressed.npz', b, True)  # 文件大小:100KB
# 稀疏矩阵不压缩存储到npz文件
sparse.save_npz('b_uncompressed.npz', b, False)  # 文件大小:560KB
# 存储到普通的npy文件
np.save('a.npy', a)  # 文件大小:391KB
# 存储到压缩的npz文件
np.savez_compressed('a_compressed.npz', a=a)  # 文件大小:97KB

对于存储到npz文件中的CSR格式的稀疏矩阵,内容为:

data.npy
format.npy
indices.npy
indptr.npy
shape.npy

6. 总结

加载数据文件时使用coo_matrix快速构建稀疏矩阵,然后调用to_csr()、to_csc()、to_dense()把它转换成CSR或稠密矩阵(numpy.matrix)。

coo_matrix格式常用于从文件中进行稀疏矩阵的读写,而csr_matrix格式常用于读入数据后进行稀疏矩阵计算。

7. 参考

【1】https://blog.csdn.net/winycg/article/details/80967112
【2】Https://blog.csdn.net/vor234/article/details/124935384

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