关于Python卷积函数详解
卷积函数
python提供了多种卷积方案，相比之下，定义在ndimage中的卷积函数，在功能上比numpy和signal中的卷积要稍微复杂一些，这点仅从输入参数的多少就可略窥一二
numpy.convolve(a, v, mode='full')
scipy.ndimage.convolve1d(input, weights, axis=-1, output=None, mode='reflect', cval=0.0, origin=0)
scipy.signal.convolve(in1, in2, mode='full', method='auto')
scipy.ndimage.convolve(input, weights, output=None, mode='reflect', cval=0.0, origin=0)
前两者为1维卷积函数，且ndimage可对多维数组沿着单个坐标轴进行卷积操作，后两者为多维卷积。
numpy和signal中的卷积函数，其mode都有三种，用以调节卷积后的边缘特性，如果输入的两个卷积对象的维度分别是N NN和M MM，则这三种模式的输出结果为
full: 输出维度N + M − 1 N+M-1N+M−1，其最后一点的信号完全不交叠，故而边缘效应明显。same：输出维度max ( M , N ) \max(M,N)max(M,N)，边缘效应仍然可见valid：输出维度∣ M − N ∣ |M-N|∣M−N∣，只返回完全交叠的区域，相当于把存在边缘效应的点都率除掉了
ndimage中的convolve针对边缘效应，对图像进行扩展，而其mode决定的就是扩展之后的填充格式，设待滤波数组为a b c d，则在不同的模式下，对边缘进行如下填充
| 左侧填充 | 数据 | 右侧填充 | |
|---|---|---|---|
reflect | d c b a | a b c d | d c b a |
constant | k k k k | a b c d | k k k k |
nearest | a a a a | a b c d | d d d d |
mirror | d c b | a b c d | c b a |
wrap | a b c d | a b c d | a b c d |
其中，k通过参数cval设定。
这五种修改边界的方法，在scipy.ndimage的函数中十分普遍，尤其是涉及到卷积的滤波函数，堪称标配。
对比测试
接下来针对这些不同的卷积函数，做一下性能测试，用5 × 5的卷积模板，对1000 × 1000的矩阵进行卷积计算，来看一下不同实现方案的卷积，其速度如何
import numpy as np
import scipy.signal as ss
import scipy.ndimage as sn
from timeit import timeit
A = np.random.rand(1000,1000)
B = np.random.rand(5,5)
timeit(lambda : ss.convolve(A, B), number=10)
# 0.418
timeit(lambda : sn.convolve(A, B), number=10)
# 0.126
相比之下，ndimage中的卷积显然是更高效的。
接下来测试一下一维卷积的表现
A = np.random.rand(10000)
B = np.random.rand(15)
timeit(lambda : np.convolve(A, B), number=1000)
# 0.15256029999727616
timeit(lambda : ss.convolve(A, B), number=1000)
# 0.1231262000001152
timeit(lambda : sn.convolve(A, B), number=1000)
# 0.09218210000108229
timeit(lambda : sn.convolve1d(A, B), number=1000)
# 0.03915820000111125
相比之下，convolve1d不愧是写明了1d的卷积函数，速度最快，而numpy中提供的函数速度最慢。
卷积应用
卷积操作经常被作用在图像滤波以及边缘提取上，例如，通过类似下面这样的矩阵，可以将图像的纵向的边缘提取出来。
下面做一个简单的测试
from scipy.misc import ascent
import matplotlib.pyplot as plt
img = ascent()
temp = np.zeros([3,3])
temp[:,0] = -1
temp[:,2] = 1
edge = sn.convolve(img, temp)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(121)
ax.imshow(img)
ax = fig.add_subplot(122)
ax.imshow(edge)
plt.show()
效果如下，非常明显
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