C++实现基于不相交集合的O(mlgn)复杂度的kruskal算法

2023-02-22 15:02:30 算法 复杂度 相交

C++实现基于不相交集合的O(mlgn)复杂度的kruskal算法

本文实现完全参考<<Introduction to AlGorithms Third edition>>,

不相交集合的数据结构

我们采用森林的方式实现不相交集合。这个森林是极简化的,每个节点只有一个指向父亲的指针,而且森林中的每一颗树都是一个集合,我们取树的根节点为这个集合的代表元。

int rank[505];
int father[505];
void make_set(int x)
{
	father[x]=x;
	rank[x]=0;
}
int find_set(int x)
{
    if (x!=father[x])
    {
        father[x]=find_set(father[x]);
    }
    return father[x];
}
void simply_uNIOn_set(int u,int v)
{
    u=find_set(u);
    v=find_set(v);
    father[u]=v;
}
void  perfect_union_set(int u,int v)
{
    u=find_set(u);
    v=find_set(v);
    if (rank[u]>rank[v])
    {
        father[v]=u;
    }
    else
    {
        father[u]=v;
        if(rank[u]==rank[v])
        rank[v]++;
    }

}

可以看到在find_set()函数中采用了两趟遍历的思想,第一趟遍历找的根节点,第二趟遍历将路径上的节点全部指向根节点,完成了压缩树高。

在实现集合合并的时候,我们采用了两种方法:一种方法是直接合并simply_union_set,另一种是采用按秩合并的思想perfect_union_set,即总是让秩小合并到秩大的集合中,这是一种减少树高的有效策略;

当我们采用按秩合并时时,上述每一个操作的最差时间复杂度,都约等于O(1)

详情见<<Introduction to Algorithms Third edition>>中证明

kruskal 算法

void kruskal()
{
    for(int i=0;i<num_v;i++)make_set(i);
    sort(arr_edge.begin(),arr_edge.end(),mycompare);
    for(int i=0;i<arr_edge.size();i++)
    {
        int fr=arr_edge[i].fr;
        int to=arr_edge[i].to;
        int w=arr_edge[i].w;
        if( find_set(fr)!=find_set(to))
        {
        	result+=w;
            perfect_union_set(fr,to);
        }
    }
}

kruskal 算法是一种基于贪心策略的算法,它的时间复杂度的最大开销就是排序算法,即O(mlgm)=O(mlgn),这里m表示边数,n表示顶点数

知识补充

乘胜追击一下，通过一个例题再深入了解一下kruskal 算法吧

题目：Http://poj.org/problem?id=2485

思路：就是最小生成树啊

代码

#include<iOStream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
#define INTMAX 0x3f3f3f3f
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
#define x first
#define y second

int rank[505];
int father[505];
int find_set(int x)
{
    if (x!=father[x])
    {
        father[x]=find_set(father[x]);
    }
    return father[x];
}
void simply_union_set(int u,int v)
{
    u=find_set(u);
    v=find_set(v);
    father[u]=v;
}
void  perfect_union_set(int u,int v)
{
    u=find_set(u);
    v=find_set(v);
    if (rank[u]>rank[v])
    {
        father[v]=u;
    }
    else
    {
        father[u]=v;
        if(rank[u]==rank[v])
        rank[v]++;
    }

}
struct edge
{
    int fr,to,w;
};
int num_case,num_v,result;
vector<edge> arr_edge;

void debug()
{
    for(int i=0;i<arr_edge.size();i++)
    {
        cout<<arr_edge[i].fr<<" to "<<arr_edge[i].to<<"="<<arr_edge[i].w<<endl;
    }
}

void init()
{
    arr_edge.clear();
    result=0;
}
void input()
{
    int w;
    scanf("%d",&num_v);
    for(int i=0;i<num_v;i++)
    {
        for(int j=0;j<num_v;j++)
        {
            scanf("%d",&w);
            if(i<j)
            {
                edge temp;
                temp.fr=i;
                temp.to=j;
                temp.w=w;
                arr_edge.push_back(temp);
            }
        }
    }

}
bool mycompare(const edge& x,const edge &y)
{
    return x.w<y.w;
}
void kruskal()
{
    for(int i=0;i<num_v;i++)father[i]=i;
    sort(arr_edge.begin(),arr_edge.end(),mycompare);
    for(int i=0;i<arr_edge.size();i++)
    {
        int fr=arr_edge[i].fr;
        int to=arr_edge[i].to;
        int w=arr_edge[i].w;
        if( find_set(fr)!=find_set(to))
        {
            result=max(result,w);
            simply_union_set(fr,to);
        }
    }
}
void solve()
{
    init();
    input();
    //debug();
    kruskal();
    cout<<result<<endl;
}

int main()
{
    scanf("%d",&num_case);
    while(num_case--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}

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