Python 3中使用ARIMA进行时间

当考虑使用季节性ARIMA模型拟合时间序列数据时，我们的第一个目标是找到优化感兴趣度量的ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s的值。 实现这一目标有许多指导方针和最佳实践，但ARIMA模型的正确参数化可能是一个需要领域专长和时间的艰苦的手工过程。 其他统计编程语言（如R提供了自动化的方法来解决这个问题 ，但尚未被移植到Python中。 在本节中，我们将通过编写Python代码来编程选择ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s时间序列模型的最优参数值来解决此问题。

我们将使用“网格搜索”来迭代地探索参数的不同组合。 对于参数的每个组合，我们使用statsmodels模块的SARIMAX()函数拟合一个新的季节性ARIMA模型，并评估其整体质量。 一旦我们探索了参数的整个范围，我们的最佳参数集将是我们感兴趣的标准产生最佳性能的参数。 我们开始生成我们希望评估的各种参数组合：

# Define the p, d and q parameters to take any value between 0 and 2
p = d = q = range(0, 2)

# Generate all different combinations of p, q and q triplets
pdq = list(itertools.product(p, d, q))

# Generate all different combinations of seasonal p, q and q triplets
seasonal_pdq = [(x[0], x[1], x[2], 12) for x in list(itertools.product(p, d, q))]

print('Examples of parameter combinations for Seasonal ARIMA...')
print('SARIMAX: {} x {}'.fORMat(pdq[1], seasonal_pdq[1]))
print('SARIMAX: {} x {}'.format(pdq[1], seasonal_pdq[2]))
print('SARIMAX: {} x {}'.format(pdq[2], seasonal_pdq[3]))
print('SARIMAX: {} x {}'.format(pdq[2], seasonal_pdq[4]))

Examples of parameter combinations for Seasonal ARIMA...
SARIMAX: (0, 0, 1) x (0, 0, 1, 12)
SARIMAX: (0, 0, 1) x (0, 1, 0, 12)
SARIMAX: (0, 1, 0) x (0, 1, 1, 12)
SARIMAX: (0, 1, 0) x (1, 0, 0, 12)

我们现在可以使用上面定义的参数三元组来自动化不同组合对ARIMA模型进行培训和评估的过程。 在统计和机器学习中，这个过程被称为模型选择的网格搜索（或超参数优化）。

在评估和比较配备不同参数的统计模型时，可以根据数据的适合性或准确预测未来数据点的能力，对每个参数进行排序。 我们将使用aiC （Akaike信息标准）值，该值通过使用statsmodels安装的ARIMA型号方便地返回。 AIC衡量模型如何适应数据，同时考虑到模型的整体复杂性。 在使用大量功能的情况下，适合数据的模型将被赋予比使用较少特征以获得相同的适合度的模型更大的AIC得分。 因此，我们有兴趣找到产生最低AIC值的模型。

下面的代码块通过参数的组合来迭代，并使用SARIMAX函数来适应相应的季节性ARIMA模型。 这里， order参数指定(p, d, q)参数，而seasonal_order参数指定季节性ARIMA模型的(P, D, Q, S)季节分量。 在安装每个SARIMAX()模型后，代码打印出其各自的AIC得分。

warnings.filterwarnings("ignore") # specify to ignore warning messages

for param in pdq:
    for param_seasonal in seasonal_pdq:
        try:
            mod = sm.tsa.statespace.SARIMAX(y,
                                            order=param,
                                            seasonal_order=param_seasonal,
                                            enforce_stationarity=False,
                                            enforce_invertibility=False)

            results = mod.fit()

            print('ARIMA{}x{}12 - AIC:{}'.format(param, param_seasonal, results.aic))
        except:
            continue

由于某些参数组合可能导致数字错误指定，因此我们明确禁用警告消息，以避免警告消息过载。 这些错误指定也可能导致错误并引发异常，因此我们确保捕获这些异常并忽略导致这些问题的参数组合。

上面的代码应该产生以下结果，这可能需要一些时间：

SARIMAX(0, 0, 0)x(0, 0, 1, 12) - AIC:6787.3436240402125
SARIMAX(0, 0, 0)x(0, 1, 1, 12) - AIC:1596.711172764114
SARIMAX(0, 0, 0)x(1, 0, 0, 12) - AIC:1058.9388921320026
SARIMAX(0, 0, 0)x(1, 0, 1, 12) - AIC:1056.2878315690562
SARIMAX(0, 0, 0)x(1, 1, 0, 12) - AIC:1361.6578978064144
SARIMAX(0, 0, 0)x(1, 1, 1, 12) - AIC:1044.7647912940095
...
...
...
SARIMAX(1, 1, 1)x(1, 0, 0, 12) - AIC:576.8647112294245
SARIMAX(1, 1, 1)x(1, 0, 1, 12) - AIC:327.9049123596742
SARIMAX(1, 1, 1)x(1, 1, 0, 12) - AIC:444.12436865161305
SARIMAX(1, 1, 1)x(1, 1, 1, 12) - AIC:277.7801413828764

我们的代码的输出表明， SARIMAX(1, 1, 1)x(1, 1, 1, 12)产生最低的AIC值为277.78。 因此，我们认为这是我们考虑过的所有模型中的最佳选择。

第5步 - 安装ARIMA时间序列模型

使用网格搜索，我们已经确定了为我们的时间序列数据生成最佳拟合模型的参数集。 我们可以更深入地分析这个特定的模型。

我们首先将最佳参数值插入到新的SARIMAX模型中：

mod = sm.tsa.statespace.SARIMAX(y,
                                order=(1, 1, 1),
                                seasonal_order=(1, 1, 1, 12),
                                enforce_stationarity=False,
                                enforce_invertibility=False)

results = mod.fit()

print(results.summary().tables[1])

==============================================================================
                 coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
ar.L1          0.3182      0.092      3.443      0.001       0.137       0.499
ma.L1         -0.6255      0.077     -8.165      0.000      -0.776      -0.475
ar.S.L12       0.0010      0.001      1.732      0.083      -0.000       0.002
ma.S.L12      -0.8769      0.026    -33.811      0.000      -0.928      -0.826
sigma2         0.0972      0.004     22.634      0.000       0.089       0.106
==============================================================================

由SARIMAX的输出产生的SARIMAX返回大量的信息，但是我们将注意力集中在系数表上。 coef列显示每个特征的重量（即重要性）以及每个特征如何影响时间序列。 P>|z| 列通知我们每个特征重量的意义。 这里，每个重量的p值都低于或接近0.05 ，所以在我们的模型中保留所有权重是合理的。

在适合季节性ARIMA模型（以及任何其他模型）的情况下，运行模型诊断是非常重要的，以确保没有违反模型的假设。 plot_diagnostics对象允许我们快速生成模型诊断并调查任何异常行为。

results.plot_diagnostics(figsize=(15, 12))
plt.show()

我们的主要关切是确保我们的模型的残差是不相关的，并且平均分布为零。 如果季节性ARIMA模型不能满足这些特性，这是一个很好的迹象，可以进一步改善。

在这种情况下，我们的模型诊断表明，模型残差正常分布如下：

• 在右上图中，我们看到红色KDE线与N(0,1)行（其中N(0,1) ）是正态分布的标准符号，平均值0 ，标准偏差为1 ） 。 这是残留物正常分布的良好指示。

• 左下角的qq图显示，残差（蓝点）的有序分布遵循采用N(0, 1)的标准正态分布采样的线性趋势。 同样，这是残留物正常分布的强烈指示。

• 随着时间的推移（左上图）的残差不会显示任何明显的季节性，似乎是白噪声。 这通过右下角的自相关（即相关图）来证实，这表明时间序列残差与其本身的滞后版本具有低相关性。

这些观察结果使我们得出结论，我们的模型产生了令人满意的合适性，可以帮助我们了解我们的时间序列数据和预测未来价值。

虽然我们有一个令人满意的结果，我们的季节性ARIMA模型的一些参数可以改变，以改善我们的模型拟合。 例如，我们的网格搜索只考虑了一组受限制的参数组合，所以如果我们拓宽网格搜索，我们可能会找到更好的模型。

第6步 - 验证预测

pred = results.get_prediction(start=pd.to_datetime('1998-01-01'), dynamic=False)
pred_ci = pred.conf_int()

ax = y['1990':].plot(label='observed')
pred.predicted_mean.plot(ax=ax, label='One-step ahead Forecast', alpha=.7)

ax.fill_between(pred_ci.index,
                pred_ci.iloc[:, 0],
                pred_ci.iloc[:, 1], color='k', alpha=.2)

ax.set_xlabel('Date')
ax.set_ylabel('CO2 Levels')
plt.legend()

plt.show()

y_forecasted = pred.predicted_mean
y_truth = y['1998-01-01':]

# Compute the mean square error
mse = ((y_forecasted - y_truth) ** 2).mean()
print('The Mean Squared Error of our forecasts is {}'.format(round(mse, 2)))

The Mean Squared Error of our forecasts is 0.07

pred_dynamic = results.get_prediction(start=pd.to_datetime('1998-01-01'), dynamic=True, full_results=True)
pred_dynamic_ci = pred_dynamic.conf_int()

ax = y['1990':].plot(label='observed', figsize=(20, 15))
pred_dynamic.predicted_mean.plot(label='Dynamic Forecast', ax=ax)

ax.fill_between(pred_dynamic_ci.index,
                pred_dynamic_ci.iloc[:, 0],
                pred_dynamic_ci.iloc[:, 1], color='k', alpha=.25)

ax.fill_betweenx(ax.get_ylim(), pd.to_datetime('1998-01-01'), y.index[-1],
                 alpha=.1, zorder=-1)

ax.set_xlabel('Date')
ax.set_ylabel('CO2 Levels')

plt.legend()
plt.show()

# Extract the predicted and true values of our time-series
y_forecasted = pred_dynamic.predicted_mean
y_truth = y['1998-01-01':]

# Compute the mean square error
mse = ((y_forecasted - y_truth) ** 2).mean()
print('The Mean Squared Error of our forecasts is {}'.format(round(mse, 2)))

The Mean Squared Error of our forecasts is 1.01

# Get forecast 500 steps ahead in future
pred_uc = results.get_forecast(steps=500)

# Get confidence intervals of forecasts
pred_ci = pred_uc.conf_int()

ax = y.plot(label='observed', figsize=(20, 15))
pred_uc.predicted_mean.plot(ax=ax, label='Forecast')
ax.fill_between(pred_ci.index,
                pred_ci.iloc[:, 0],
                pred_ci.iloc[:, 1], color='k', alpha=.25)
ax.set_xlabel('Date')
ax.set_ylabel('CO2 Levels')

plt.legend()
plt.show()