Java实现快速幂算法详解
前言
此算法偶尔会出现在笔试以及面试中，特意花时间研究了下这题
题目：
求AB次方，并且保留最后几位数字（此题保留最后3位数）
例子：
21000,输出的结果保留3位数字
在笔试或者面试中看到此题，第一思路可能通过递归或者while遍历的想法，但细想一下，这么大的数字编程语言中任何一个变量或者计算机硬件机器也hold不住这么大的数字存储（越往后幂次越大，总是会溢出）
此时想到了海量数据如何存储：海量数据处理的高频面试题分析
那我就选择布隆过滤器：布隆过滤器的原理和实现详细分析（全）。（但可能会有误差）
硬件无法存储，那我就分片切片，甚至二进制移位来对应计算（但是我是21000次方，每一次的幂算，我都整这么复杂，这计算一个数字要花大半天？？）
冷静思考后，我发现想复杂了，应该从数学推导公式下手，才能提高算法的优化
以下章节对应算法复杂度的优化
1. 暴力算法（fail）
算法如下：
public long slowPower(long base,long power){
long result = 1;
// 依次通过for循环，将其对应的数字乘
for(int i = 1 ;i <= power;i++){
result *= base;
}
// 保留最后的3位数字，求余1000
return result % 1000;
}
或者使用while循环
public long slowPower(long base,long power){
long result = 1;
while(power--){
result *= base;
}
return result % 1000;
}
此处的代码执行的时候，就会出现数组越界
幂次运算，越到最后，爆炸式的增长：
对此求余是最好的想法（因为数值很大保留最后几位即可）
但数值本身就已经越界，而且爆炸增长也算不到最后的数值，更不用提及求余
2. 优化取模运算（accept）
从上面的理论可得知，在求到某一步的时候，数值已经越界，那可以提前求余在计算么
那就要从取模运算进行深入了解：取模运算百度百科
本身模运算与基本四则运算相似
- (a + b) % p = (a % p + b % p) % p
- (a - b) % p = (a % p - b % p ) % p
- (a * b) % p = (a % p * b % p) % p
- a ^ b % p = ((a % p)^b) % p
其他的重要的也可提前过一遍（哪天用得上）
结合律：
- ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p
- ((ab) % p * c)% p = (a * (bc) % p) % p
分配律：
- (a+b) % p = ( a % p + b % p ) %p
- ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p
特别是这个公式：(a * b) % p = (a % p * b % p) % p
算法如下：
public long fastPower(long base,long power){
long result = 1;
// 依次通过for循环，将其对应的数字乘
for(int i = 1 ;i <= power;i++){
result *= base;
result %= 1000;
}
// 保留最后的3位数字，求余1000
return result % 1000;
}3. 优化时间复杂度（accept）
上面的计算是21000，如果是210000000000000000000000000000那时间复杂度随着指数的增加而增加，而且迭代的次数也特别多，那优化时间复杂度么？
通过幂次的巧妙处理，将其幂次计算的迭代减少
具体如下:（计算210）
pow(2,10)
= pow(4,5)
= pow(4,4) * pow(4,1)
= pow(16,2) * pow(4,1)
= pow(256,1) * pow(4,1)
- 幂次为偶数，直接处理
- 幂次为奇数，拆1 以及 偶数
知道所有的指数都变为1，将其相乘即为最终的结果
最终的算法：
public long fasterPower(long base,long power){
long result = 1;
// 保证指数大于0 遍历
while (power > 0) {
// 偶数
if (power % 2 == 0) {
// 指数减半
power /= 2;
// 底数平方，记得 （模的运算优化）
base = base * base % 1000;
} else {
// 指数为奇数
// 拆分为1 和 偶数
power -= 1;
// result乘底数 求余 并且放在result（提前存储）
result = result * base % 1000;
// power偶数，再操作一次
// 底数平方，记得 （模的运算优化）
power /= 2;
base = base * base % 1000;
}
}
// 直接输出结果，已经不用求余了
return result;
}通过上面的算法发现冗余复杂了，提取公共部分合并
public long fasterPower(long base,long power){
long result = 1;
// 保证指数大于0 遍历
while (power != 0) {
// 奇数特殊判断
if (power % 2) {
result = result * base % 1000;
}
// 再次操作一次，底数平方，记得 （模的运算优化）
// 此处之所以不用减1，是因为 power 会向下取整 ，5 / 2 = 2
power /= 2;
base = base * base % 1000;
}
// 直接输出结果，已经不用求余了
return result;
}4. 优化 位运算（accept）
除2（右移），可以使用移位来计算
// 非递归
public long fastestPower(long base,long power){
long result = 1;
while (power != 0) {
// 奇数特殊判断
if (power & 1) {
result = result * base % 1000;
}
power >>= 1;
base = base * base % 1000;
}
// 直接输出结果，已经不用求余了
return result;
}通过上面的层层递进进行优化，自然也可用递归
// 递归
public long fastestPower(long base,long power){
if(power == 0) {
return 1;
}
return fastestPower(base * base, power >> 1) * (power & 1 == 1 ? base : 1);
}以上就是Java实现快速幂算法详解的详细内容，更多关于Java快速幂算法的资料请关注其它相关文章！
相关文章