一文详解SQL 中的三值逻辑

2022-11-13 17:11:01 逻辑详解一文

1. 前言
2. 两种 Null
3. 为什么是 is Null 而不是 = Null ？
4. 第三个真值 “unknown”
5. 包含三值逻辑的真值表
6. “排中律” 不再成立
7. CASE 表达式和 NULL
8. NOT IN 和 NOT EXISTS 不是等价的
9. 限定谓词和 NULL
10. 限定谓词和极值函数不是等价的
11. 聚合函数和 Null

1. 前言

大多数编程语言都是基于二值逻辑的，即逻辑真值只有真和假两个。而 sql 语言则采用一种特别的逻辑体系——三值逻辑，即逻辑真值除了真和假，而 SQL 语言里，除此之外还有第三个值 unknown ，因此这种逻辑体系被称为三值逻辑（three-valued-logic）。

2. 两种 Null

表示未知 (unknown)：“不知道戴墨镜的人眼睛是什么颜色”这种情况为例，这个人的眼睛肯定是有颜色的，但是如果他不摘掉眼镜，别人就不知道他的眼睛是什么颜色。这就叫作未知。
表示不适用 (not applicable 或 inapplicable)：“不知道冰箱的眼睛是什么颜色”则属于“不适用”。因为冰箱根本就没有眼睛，所以“眼睛的颜色”这一属性并不适用于冰箱。

“冰箱的眼睛的颜色”这种说法和“圆的体积”“男性的分娩次数”一样，都是没有意义的。平时，我们习惯了说“不知道”，但是“不知道”也分很多种。“不适用”这种情况下的 NULL ，在语义上更接近于“无意义”，而不是“不确定”。

总结：“未知”指的是“虽然现在不知道，但加上某些条件后就可以知道”；而“不适用”指的是“没有办法知道”。

3. 为什么是 is Null 而不是 = Null ？

“我们先从定义一个表示‘虽然丢失了，但却适用的值’的标记开始。我们把它叫作 A-Mark。这个标记在关系数据库里既不被当作值（value），也不被当作变量（variable）。”（E.F. Codd，The Relational Model for Database Management ：Version 2 , P.173） “关于 NULL 的很重要的一件事情是，NULL 并不是值。”（C.J. Date， An Intruction To Database System （6th edition ）, P.619）

对 NULL 使用比较谓词后得到的结果总是 unknown 。而查询结果只会包含 WHERE 子句里的判断结果为 true 的行，不会包含判断结果为 false 和 unknown 的行。不只是等号，对 NULL 使用其他比较谓词，结果也都是一样的。

-- 以下的式子都会被判为 unknown
1 = NULL
2 > NULL
3 < NULL
4 <> NULL
NULL = NULL

那么，为什么对 NULL 使用比较谓词后得到的结果永远不可能为真呢？这是因为，NULL 既不是值也不是变量。NULL 只是一个表示“没有值”的标记，而比较谓词只适用于值。因此，对并非值的 NULL 使用比较谓词本来就是没有意义的。(Null只是一个作为区分的标记，并不是一个值)

“列的值为 NULL ”“NULL 值”这样的说法本身就是错误的。因为 NULL 不是值，所以不在定义域（domain）中。相反，如果有人认为 NULL 是值，那么请区分一下：它是什么类型的值？关系数据库中存在的值必然属于某种类型，比如字符型或数值型等。所以，假如 NULL 是值，那么它就必须属于某种类型。（ SQL 里的 NULL 和其他编程语言里的 NULL 是完全不同的东西）

4. 第三个真值 “unknown”

因关系数据库采用了 NULL 而被引入了 “第三个真值”。这里有一点需要注意：真值 unknown 和作为 NULL 的一种的 UNKNOWN （未知）是不同的东西。前者是明确的布尔型的真值，后者既不是值也不是变量。（下文使用 unknown 表示真值，UNKNOWN 表示代表Null的一个标记）

举个栗子： unknown = unknown 判定为 true 而 UNKNOWN = UNKNOWN ( 也就是 Null = Null ) 判定为 unknown

5. 包含三值逻辑的真值表

当两个值进行逻辑判断的时候的优先级，优先级高的真值会决定计算结果：

AND 的情况： false ＞ unknown ＞ true
OR 的情况： true ＞ unknown ＞ false

举个栗子： true AND unknown ，因为 unknown 的优先级更高，所以结果是 unknown 。而 true OR unknown 的话，因为 true 优先级更高，所以结果是 true 。

6. “排中律” 不再成立

“把命题和它的否命题通过‘或者’连接而成的命题全都是真命题” 这个命题在二值逻辑中被称为排中律（Law of Excluded Middle）。顾名思义，排中律就是指不认可中间状态，对命题真伪的判定黑白分明，是古典逻辑学的重要原理。

举个栗子：现实生活中一个学生是20岁或者不是20岁，不会有第三种情况。

但是在SQL中并不是这个样：

-- 查询年龄是20 岁或者不是20 岁的学生
SELECT *
FROM Students
WHERE age = 20 OR age <> 20;

在现实生活中，上面的查询条件应该包含所有的学生，但是这里的执行结果并不会查询到约翰。

--- 当查询到约翰哪一行时的判定
WHERE Null = 20 OR Null <> 20

--- 根据上文的描述，该条件会转换为
WHERE unknown OR unknown   等同于 WHERE unknown

若要查到所有学生需要再加上一个条件：OR age IS NULL

7. CASE 表达式和 NULL

CASE col_1
    WHEN 1 THEN '○'
    WHEN NULL THEN '×'
END

上面的这个CASE表达式会在 col_1 为 1 时返回 ○ 、为 NULL 时返回 × 吗？显然始终不会返回 x 因为第二个 WHEN 子句是 col_1 = NULL 的缩写形式，根据上文的描述 col_1 = NULL 始终会返回 unknown 而 CASE 表达式的判断方法与 WHERE 子句一样，只认可真值为 true 的条件，所以 x 并不会出现。下面才是正确的写法：

CASE 
    WHEN col_1 = 1 THEN '○'
    WHEN col_1 IS NULL THEN '×'
END

8. NOT IN 和 NOT EXISTS 不是等价的

在对 SQL 语句进行性能优化时，经常用到的一个技巧是将 IN 改写成EXISTS 。这是等价改写，并没有什么问题。问题在于，将 NOT IN 改写成 NOT EXISTS 时，结果未必一样。

查询 “与 B 班住在东京的学生年龄不同的 A 班学生” 。也就是说，希望查询到的是拉里和伯杰。

-- 查询与 B 班住在东京的学生年龄不同的 A 班学生的 SQL 语句
SELECT *
FROM Class_A
WHERE age NOT IN ( SELECT age FROM Class_B WHERE city = '东京' );

这条 SQL 语句真的能正确地查询到这两名学生吗？遗憾的是不能。结果是空，查询不到任何数据。根据前文所说的规则推导一下吧：

--1. 执行子查询，获取年龄列表
SELECT *
FROM Class_A
WHERE age NOT IN (22, 23, NULL);
--2. 用 NOT 和 IN 等价改写 NOT IN
SELECT *
FROM Class_A
WHERE NOT age IN (22, 23, NULL);

--3. 用 OR 等价改写谓词 IN
SELECT *
FROM Class_A
WHERE NOT ( (age = 22) OR (age = 23) OR (age = NULL) );

--4. 使用德 · 摩根定律等价改写
SELECT *
FROM Class_A
WHERE NOT (age = 22) AND NOT(age = 23) AND NOT (age = NULL);

--5. 用<> 等价改写 NOT 和 =
SELECT *
FROM Class_A
WHERE (age <> 22) AND (age <> 23) AND (age <> NULL);

--6. 对NULL 使用<> 后，结果为unknown
SELECT *
FROM Class_A
WHERE (age <> 22) AND (age <> 23) AND unknown;

--7．如果AND 运算里包含unknown，则结果不为true
SELECT *
FROM Class_A
WHERE false 或 unknown;

所以上述查询语句查询不到任何数据。为了得到正确的结果，需要使用 EXISTS 谓词。

-- 正确的SQL 语句：拉里和伯杰将被查询到
SELECT *
FROM Class_A A
WHERE NOT EXISTS ( SELECT * FROM Class_B B WHERE A.age = B.age AND B.city = '东京' );

--1. 在子查询里和NULL 进行比较运算
SELECT *
FROM Class_A A
WHERE NOT EXISTS ( SELECT * FROM Class_B B WHERE A.age = NULL AND B.city = '东京' );

--2. 对NULL 使用“=”后，结果为 unknown
SELECT *
FROM Class_A A
WHERE NOT EXISTS ( SELECT * FROM Class_B B WHERE unknown AND B.city = '东京' );


--3. 如果AND 运算里包含unknown，结果不会是true
SELECT *
FROM Class_A A
WHERE NOT EXISTS ( SELECT * FROM Class_B B WHERE false 或 unknown);


--4. 子查询没有返回结果，因此相反地，NOT EXISTS 为true
SELECT *
FROM Class_A A
WHERE true;

9. 限定谓词和 NULL

-- 查询比 B 班住在东京的所有学生年龄都小的A 班学生 这里会正常返回 拉里
SELECT *
FROM Class_A
WHERE age < ALL ( SELECT age FROM Class_B WHERE city = '东京' );

如果山田年龄不详，就会有问题了。

--1. 执行子查询获取年龄列表
SELECT *
FROM Class_A
WHERE age < ALL ( 22, 23, NULL);


--2. 将ALL 谓词等价改写为AND
SELECT *
FROM Class_A
WHERE (age < 22) AND (age < 23) AND (age < NULL);


--3. 对NULL 使用“<”后，结果变为 unknown
SELECT *
FROM Class_A
WHERE (age < 22) AND (age < 23) AND unknown;

--4. 如果AND 运算里包含unknown，则结果不为true
SELECT *
FROM Class_A
WHERE false 或 unknown;

10. 限定谓词和极值函数不是等价的

将 9 中的表 Class_B 中山田的年龄改为Null，执行下面的查询

-- 查询比B 班住在东京的年龄最小的学生还要小的A 班学生 
SELECT *
FROM Class_A
WHERE age < ( SELECT MIN(age) FROM Class_B WHERE city = '东京' );

这里仍能正确查询出拉里和伯杰，这是因为，极值函数在统计时会把为 NULL 的数据排除掉。使用极值函数能使 Class_B 这张表里看起来就像不存在 NULL 一样。

区分含义：

ALL 谓词：他的年龄比在东京住的所有学生都小 Q1
极值函数：他的年龄比在东京住的年龄最小的学生还要小 Q2

Q1 和 Q2 不等价的情况：

表里存在 NULL 时它们是不等价的
谓词（或者函数）的输入为空集的情况

这里说明一下情况2：B 班里没有学生住在东京。这时，使用 ALL 谓词的SQL 语句会查询到 A 班的所有学生。然而，用极值函数查询时一行数据都查询不到。这是因为，极值函数在输入为空表（空集）时会返回 NULL 。

--1. 极值函数返回NULL
SELECT *
FROM Class_A
WHERE age < NULL;

--2. 对NULL 使用“<”后结果为 unknown
SELECT *
FROM Class_A
WHERE unknown;

11. 聚合函数和 Null

实际上，当输入为空表时返回 NULL 的不只是极值函数，COUNT 以外的聚合函数也是如此。

-- 查询比住在东京的学生的平均年龄还要小的A 班学生的SQL 语句？
SELECT *
FROM Class_A
WHERE age < ( SELECT AVG(age) FROM Class_B WHERE city = '东京' );

没有住在东京的学生时，AVG 函数返回 NULL 。因此，外侧的 WHERE 子句永远是 unknown ，也就查询不到行。

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