Matlab利用遗传算法GA求解非连续函数问题详解
遗传算法基本思想
遗传算法（Genetic AlGorithm, GA）起源于对生物系统所进行的计算机模拟研究。它是模仿自然界生物进化机制发展起来的随机全局搜索和优化方法，借鉴了达尔文的进化论和孟德尔的遗传学说。其本质是一种高效、并行、全局搜索的方法，能在搜索过程中自动获取和积累有关搜索空间的知识，并自适应地控制搜索过程以求得最佳解。
遗传算法的主要步骤
（1）编码：将问题的候选解用染色体表示，实现解空间向编码空间的映射过程。遗传算法不直接处理解空间的决策变量，而是将其转换成由基因按一定结构组成的染色体。编码方式有很多，如二进制编码、实数向量编码、整数排列编码、通用数据结构编码等等。本文将采用二进制编码的方式，将十进制的变量转换成二进制，用0和1组成的数字串模拟染色体，可以很方便地实现基因交叉、变异等操作。
（2）种群初始化：产生代表问题可能潜在解集的一个初始群体（编码集合）。种群规模设定主要有以下方面的考虑：从群体多样性方面考虑，群体越大越好，避免陷入局部最优；从计算效率方面考虑，群体规模越大将导致计算量的增加。应该根据实际问题确定种群的规模。产生初始化种群的方法通常有两种：一是完全随机的方法产生；二是根据先验知识设定一组必须满足的条件，然后根据这些条件生成初始样本。
（3）计算个体适应度：利用适应度函数计算各个个体的适应度大小。适应度函数（Fitness Function）的选取直接影响到遗传算法的收敛速度以及能否找到最优解，因为在进化搜索中基本不利用外部信息，仅以适应度函数为依据，利用种群每个个体的适应程度来指导搜索。
（4）进化计算：通过选择、交叉、变异，产生出代表新的解集的群体。选择（selection）：根据个体适应度大小，按照优胜劣汰的原则，淘汰不合理的个体；交叉（crossover）：编码的交叉重组，类似于染色体的交叉重组；变异（mutation）：编码按小概率扰动产生的变化，类似于基因突变。
（5）解码：末代种群中的最优个体经过解码实现从编码空间向解空间的映射，可以作为问题的近似最优解。这是整个遗传算法的最后一步，经过若干次的进化过程，种群中适应度最高的个体代表问题的最优解，但这个最优解还是一个由0和1组成的数字串，要将它转换成十进制才能供我们理解和使用。
遗传编码
遗传编码将变量转化为基因组的表示形式，优化变量的编码机制有二进制编码、十进制编码（实数编码）等。
二进制编码
这里简单介绍以下二进制编码的实现原理。例如，求实数区间[0,4]上函数f(x)的最大值，传统的方法是不断调整自变量x的值，假设使用二进制编码新式，我们可以由长度6的未穿表示变量x，即从000000到111111，并将中间的取值映射到实数区间[0,4]内。由于哦才能够整数上来看，6位长度二进制表示范围为0~63，所以对应的[0,4]区间，每个相邻值之间的阶跃值为4/64≈0.00635。这个就是编码的精度，编码精度越高，所得到的解的质量也越高。
实数编码
在解决高维、连续优化问题等是，经常采用实数编码方式。实数编码的优点是计算精度搞，便于和经典连续优化算法结合。
遗传算法流程
1）初始化。设置进化代数计数器g=0，设置最大进化代数G，随机生成NP个个体作为初始群体P(0)
2）个体评价P(t)。计算群体中各个个体的适应度
3）选择运算。将选择算子作用域群体，根据个体适应度，按照一定的规则和方法，选择一些优良个体遗传到下一代群体。
4）交叉运算。将交叉算子作用于群体，对选中的成对个体，以某一概率交换他们之间的部分染色体，产生新的个体
5）变异运算。将变异算子作用于群体，对选中的个体，以某一概率改变某一个或某一些基因值为其他的等位基因。群体P(t)经过选择、交叉、和变异运算之后得到下一代群体P(t+1)。计算其适应度值，并根据适应度值进行排序，准备进行下一代遗传操作。
6）终止条件判断：若g≤G，则g=g+1，转到步骤2）；若g＞G，则终止计算
实际演示
计算函数
的最小值。这是一个简单的平方和问函数，只有一个极小点，理论最小值f(0,0,...,0)=0
仿真过程如下：
（1）初始化种群数目为NP=100，染色体基因维数D=10，最大进化迭代数G=1000，交叉概率为Pc=0.8，变异概率Pm=0.1
（2）产生初始种群，计算给体适应度值；进行始数编码的安泽以及交叉和变异操作。选择和交叉操作采用“君主方案”，即在对群体根据适应度值高低进行排序的基础上，用最优个体与其他偶数位的所有个体进行交叉，每次交叉产生两个新个体。在交叉过后，对信产所的群体进行多点变异产生子群体，再计算器适应度值，然后和父群体合并，并且根据适应度值进行排序，取前NP个个体为新群体，进行下一次遗传操作。
（3）判断是否满足终止条件：若满足，结束搜索过程，输出最优值；若不满足，继续迭代优化
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%实值遗传算法求函数极值%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%初始化%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all; %清除所有变量
close all; %清图
clc; %清屏
D=10; %基因数目
NP=100; %染色体数目
Xs=20; %上限
Xx=-20; %下限
G=1000; %最大遗传代数
f=zeros(D,NP); %初始种群赋空间
nf=zeros(D,NP); %子种群赋空间
Pc=0.8; %交叉概率
Pm=0.1; %变异概率
f=rand(D,NP)*(Xs-Xx)+Xx; %随机获得初始种群
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%按适应度升序排列%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for np=1:NP
MSLL(np)=func2(f(:,np));
end
[SortMSLL,Index]=sort(MSLL);
Sortf=f(:,Index);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%遗传算法循环%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for gen=1:G
%%%%%%%%%%%%%%采用君主方案进行选择交叉操作%%%%%%%%%%%%%%%%
Emper=Sortf(:,1); %君主染色体
NoPoint=round(D*Pc); %每次交叉点的个数
PoPoint=randi([1 D],NoPoint,NP/2); %交叉基因的位置
nf=Sortf;
for i=1:NP/2
nf(:,2*i-1)=Emper;
nf(:,2*i)=Sortf(:,2*i);
for k=1:NoPoint
nf(PoPoint(k,i),2*i-1)=nf(PoPoint(k,i),2*i);
nf(PoPoint(k,i),2*i)=Emper(PoPoint(k,i));
end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%变异操作%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for m=1:NP
for n=1:D
r=rand(1,1);
if r<Pm
nf(n,m)=rand(1,1)*(Xs-Xx)+Xx;
end
end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%子种群按适应度升序排列%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for np=1:NP
NMSLL(np)=func2(nf(:,np));
end
[NSortMSLL,Index]=sort(NMSLL);
NSortf=nf(:,Index);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%产生新种群%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
f1=[Sortf,NSortf]; %子代和父代合并
MSLL1=[SortMSLL,NSortMSLL]; %子代和父代的适应度值合并
[SortMSLL1,Index]=sort(MSLL1); %适应度按升序排列
Sortf1=f1(:,Index); %按适应度排列个体
SortMSLL=SortMSLL1(1:NP); %取前NP个适应度值
Sortf=Sortf1(:,1:NP); %取前NP个个体
trace(gen)=SortMSLL(1); %历代最优适应度值
end
Bestf=Sortf(:,1); %最优个体
trace(end) %最优值
figure
plot(trace)
xlabel('迭代次数')
ylabel('目标函数值')
title('适应度进化曲线')
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%适应度函数%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function result=func2(x)
summ=sum(x.^2);
result=summ;
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