Java深入分析了解平衡二叉树
AVL树的引入
搜索二叉树有着极高的搜索效率，但是搜索二叉树会出现以下极端情况：
这样的二叉树搜索效率甚至比链表还低。在搜索二叉树基础上出现的平衡二叉树(AVL树)就解决了这样的问题。当平衡二叉树(AVL树)的某个节点左右子树高度差的绝对值大于1时，就会通过旋转操作减小它们的高度差。
基本概念
AVL树本质上还是一棵二叉搜索树，它的特点是：
- 本身首先是一棵二叉搜索树。
- 每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。也就是说，AVL树，本质上是带了平衡功能的二叉查找树（二叉排序树，二叉搜索树）。
- 当插入一个节点或者删除一个节点时，导致某一个节点的左右子树高度差的绝对值大于1，这时需要通过左旋和右旋的操作使二叉树再次达到平衡状态。
平衡因子(balanceFactor)
- 一个结点的左子树与右子树的高度之差。
- AVL树中的任意结点的BF只可能是-1，0和1。
基础设计
下面是AVL树需要的简单方法和属性：
public class AVLTree <E extends Comparable<E>>{
class node{
E value;
Node left;
Node right;
int height;
public Node(){}
public Node(E value){
this.value = value;
height = 1;
left = null;
right = null;
}
public void display(){
System.out.print(this.value + " ");
}
}
Node root;
int size;
public int size(){
return size;
}
public int getHeight(Node node) {
if(node == null) return 0;
return node.height;
}
//获取平衡因子(左右子树的高度差，大小为1或者0是平衡的，大小大于1不平衡)
public int getBalanceFactor(){
return getBalanceFactor(root);
}
public int getBalanceFactor(Node node){
if(node == null) return 0;
return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
}
//判断一个树是否是一个平衡二叉树
public boolean isBalance(Node node){
if(node == null) return true;
int balanceFactor = Math.abs(getBalanceFactor(node.left) - getBalanceFactor(node.right));
if(balanceFactor > 1) return false;
return isBalance(node.left) && isBalance(node.right);
}
public boolean isBalance(){
return isBalance(root);
}
//中序遍历树
private void inPrevOrder(Node root){
if(root == null) return;
inPrevOrder(root.left);
root.display();
inPrevOrder(root.right);
}
public void inPrevOrder(){
System.out.print("中序遍历：");
inPrevOrder(root);
}
}
RR(左旋)
往一个树右子树的右子树上插入一个节点，导致二叉树变得不在平衡，如下图，往平衡二叉树中插入5，导致这个树变得不再平衡，此时需要左旋操作，如下：
代码如下：
//左旋,并且返回新的根节点
public Node leftRotate(Node node){
System.out.println("leftRotate");
Node cur = node.right;
node.right = cur.left;
cur.left = node;
//跟新node和cur的高度
node.height = Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right)) + 1;
cur.height = Math.max(getHeight(cur.left),getHeight(cur.right)) + 1;
return cur;
}
LL(右旋)
往一个AVL树左子树的左子树上插入一个节点，导致二叉树变得不在平衡，如下图，往平衡二叉树中插入2，导致这个树变得不再平衡，此时需要左旋操作，如下：
代码如下：
//右旋，并且返回新的根节点
public Node rightRotate(Node node){
System.out.println("rightRotate");
Node cur = node.left;
node.left = cur.right;
cur.right = node;
//跟新node和cur的高度
node.height = Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right)) + 1;
cur.height = Math.max(getHeight(cur.left),getHeight(cur.right)) + 1;
return cur;
}
LR(先左旋再右旋)
往AVL树左子树的右子树上插入一个节点，导致该树不再平衡，需要先对左子树进行左旋，再对整棵树右旋，如下图所示，插入节点为5.
RL(先右旋再左旋)
往AVL树右子树的左子树上插入一个节点，导致该树不再平衡，需要先对右子树进行右旋，再对整棵树左旋，如下图所示，插入节点为2.
添加节点
//添加元素
public void add(E e){
root = add(root,e);
}
public Node add(Node node, E value) {
if (node == null) {
size++;
return new Node(value);
}
if (value.compareTo(node.value) > 0) {
node.right = add(node.right, value);
} else if (value.compareTo(node.value) < 0) {
node.left = add(node.left, value);
}
//跟新节点高度
node.height = Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right)) + 1;
//获取当前节点的平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
//该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在左子树的左子树上，此时需要进行右旋
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) {
return rightRotate(node);
}
//该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在右子树子树的右子树上，此时需要进行左旋
else if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0) {
return leftRotate(node);
}
//该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在左子树的右子树上，此时需要先对左子树左旋，在整个树右旋
else if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
//balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.left) > 0
//该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在右子树的左子树上，此时需要先对右子树右旋，再整个树左旋
else if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
return node;
}
删除节点
//删除节点
public E remove(E value){
root = remove(root,value);
if(root == null){
return null;
}
return root.value;
}
public Node remove(Node node, E value){
Node retNode = null;
if(node == null)
return retNode;
if(value.compareTo(node.value) > 0){
node.right = remove(node.right,value);
retNode = node;
}
else if(value.compareTo(node.value) < 0){
node.left = remove(node.left,value);
retNode = node;
}
//value.compareTo(node.value) = 0
else{
//左右节点都为空，或者左节点为空
if(node.left == null){
size--;
retNode = node.right;
}
//右节点为空
else if(node.right == null){
size--;
retNode = node.left;
}
//左右节点都不为空
else{
Node successor = new Node();
//寻找右子树最小的节点
Node cur = node.right;
while(cur.left != null){
cur = cur.left;
}
successor.value = cur.value;
successor.right = remove(node.right,value);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
retNode = successor;
}
if(retNode == null)
return null;
//维护二叉树平衡
//跟新height
retNode.height = Math.max(getHeight(retNode.left),getHeight(retNode.right));
}
int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
//该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在左子树的左子树上，此时需要进行右旋
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0) {
return rightRotate(retNode);
}
//该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在右子树子树的右子树上，此时需要进行左旋
else if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0) {
return leftRotate(retNode);
}
//该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在左子树的右子树上，此时需要先对左子树左旋，在整个树右旋
else if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
retNode.left = leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);
}
//该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在右子树的左子树上，此时需要先对右子树右旋，再整个树左旋
else if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
retNode.right = rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);
}
return retNode;
}
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