C语言详细分析贪心策略中最小生成树的Prime算法设计与实现

2022-11-13 09:11:32 算法贪心最小

浅析最小生成树

设G=(V,E)是无向连通带权图。E中每条边(v,w)的权为c[v][w]。

生成树：如果G的子图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’为G的生成树。

耗费：生成树上各边权的总和

最小生成树：在G的所有生成树中，耗费最小的生成树最小生成树在实际中有广泛应用。

例如，在设计通信网络时，用图的顶点表示城市，用边(v,w)的权c[v][w]表示建立城市v和城市w之间的通信线路所需的费用，则最小生成树就给出建立通信网络的最经济的方案。

Prime算法思想

牵扯到贪心策略

设G=(V，E)是无向连通带权图，V={1,2,…,n}；

设最小生成树T=(U，TE)，算法结束时U=V，TE E。

首先，令U={u0}，TE={}。然后，只要U是V的真子集，就做如下贪心选择：选取满足条件i U，j V-U，且边(i，j)是连接U和V-U的所有边中的最短边，即该边的权值最小。然后，将顶点j加入集合U，边(i，j)加入集合TE。继续上面的贪心选择一直进行到U=V为止，此时，选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树T。需要注意的是，贪心选择这一步骤在算法中应执行多次，每执行一次，集合TE和U都将发生变化，即分别增加一条边和一个顶点。

此算法核心部分

结构体的选择

选择一个合适的数据结构可以让程序的实现效率大大提高，难度大大降低；既然是生成最小生成树，不妨选择点和边结构体；因此创建两个结构体，第一个点node结构体包含所有的结点；第二个边结构体包含所有待选择的边、连接点及权值。

实现思路

tips:onTreet 属性是布尔类型，为true时该结点在“树”上

首先对应第一个结点找我们需要的边，我们需要什么样的边呢，那就是在边的两个连接点中，有且仅有一个连结点等于结点的名称（这个可以在点结构体中加ID属性），并且这个结点必须是根结点（即onTree为true），满足这个条件，就把另一个连接点的onTree属性设为true；最后为了把满足条件的边连起来，我就个边结构体也加一个onTree属性，输出所有onTree 为true的边结构体即可。

构造实例

按Prim算法对如图所示的无向连通带权图构造一棵最小生成树。

构造过程

点和边结构体数组图示如上所示，我们需要的最终效果为下图所示：

代码详解

#include <iOStream>
using namespace std;
struct Node {
	int ID;//结点序号
	bool OnTree;//是否属于最小生成树
};
struct LS {
	int N1, N2; int V; bool OnTree;//OnTree用于判断此边是否在“树”上
	LS(int n1, int n2, int v) {
		N1 = n1; N2 = n2; V = v; OnTree = false;//N1,N2为边左右连接点，v是边的权值
	}
};
Node A[] = { {1,false}, {2,false}, {3,false}, {4,false}, {5,false} };//点结构体数组
LS L[8] = { LS(1,2,1),LS(1,3,4) ,LS(2,3,2),
LS(2,5,2),LS(4,5,4),LS(3,4,6),LS(3,5,3),LS(1,4,8)};//边结构体数组
bool FindOne(LS L ,Node A[]) {//布尔类型
	int m = 0;
	for (int i = 0; i < 5; i++)
		if (L.N1 == A[i].ID && A[i].OnTree) m++;
	for (int i = 0; i < 5; i++)
		if (L.N2 == A[i].ID && A[i].OnTree) m++;
	return m ==1;//只有N1和N2的一个连接到了在“树”上的结点才为真
}
int main()
{
	A[0].OnTree = true;
	for (int i = 0; i < 5; i++) {
		int p = 0;
		for (int j = 0; j < 8; j++) {
			if (FindOne(L[j], A)) {
				p = j; break;
			}
		}
		for (int i = 0; i < 8; i++) {
			if (FindOne(L[i], A))
				if (L[i].V < L[p].V) p = i;
		}
		L[p].OnTree = true;//选中的边设置为在“树”上
        //将边的连接点放在“树”上
		for (int i = 0; i < 5; i++) {
			if (L[p].N1 == A[i].ID) A[i].OnTree = true;
			if (L[p].N2 == A[i].ID) A[i].OnTree = true;
		}
	}
    //输出最小生成树所有边
	for (int i = 0; i < 8; i++) {
		cout << L[i].OnTree;
	}
}

结构体node 和结构体LS在上文已经较为详细的介绍了，而且还给出了node数组A和LS数组L的图示，不过要注意默认的边都是不在“树”上的；

主函数一共有四个for循环，最后一个for循环仅仅就是为了输出在最小生成树上的边，和prime的核心没有关系；

第一个for循环也就是最大的for循环，用来确定生成最小生成树的找边次数；

第二个for循环是为了找出我们所需要的边，如果存在一条边，有且仅有一个连结点等于结点的名称并且该连接点是在“树”上的，那么返回改边下标并用变量p记录；

第三个for循环是为了筛选出所有满足此条件边中权值最小的边，并把该边的小标用p记录；将最终选出的边放在“树”上，利用第三个for循环把与该边连接的点都放在“树”上，然后循环执行上述过程，直到没有满足条件的边，大循环结束，输出最小生成树。

这里详细的解析一下FindOne函数：

bool FindOne(LS L ,Node A[]) {//布尔类型
	int m = 0;
	for (int i = 0; i < 5; i++)
		if (L.N1 == A[i].ID && A[i].OnTree) m++;
	for (int i = 0; i < 5; i++)
		if (L.N2 == A[i].ID && A[i].OnTree) m++;
	return m ==1;//只有N1和N2的一个连接到了在“树”上的结点才为真
}
//调用方法 ： FindOne(L[j], A)

调用该函数的时候，实参第一个是边结构体类型的L数组内的任意一个元素，第二个则是点结构体类型的A数组的首地址，所以形参第一个需要传入LS类型的变量L，第二个则是整个Node类型的数组，这样传参才相互对应，如果对于函数传参有疑问，可以参考这篇函数的传参方式然后定义变量m初始值为0，第一个for循环是和该边的第一个连接点作比较，满足条件则m+1；第二个for循环是和该边第二个连接点作比较，满足条件也会加m也会加1；但是我只要比较结果为一的m，这样就能筛选出满足条件的边。