Kruskal算法的时间复杂度分析及其在Python中的应用

2023-04-17 00:00:00 算法 时间 复杂度

Kruskal算法是一种用于求解最小生成树的算法，其时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边的数量。

在Python中，可以使用排序（sort）函数和并查集（Union-Find）数据结构来实现Kruskal算法。具体实现步骤如下：

  1. 将所有边按照权重从小到大排序
  2. 初始化一个空的最小生成树
  3. 初始化一个并查集，每个节点为一个集合
  4. 遍历排序后的边列表，如果当前边的两个端点不在同一个集合中，则将它们合并，并将当前边加入最小生成树中
  5. 重复步骤4直到所有边都被遍历完为止

下面是使用Python实现Kruskal算法的代码演示：

class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.parent = [i for i in range(n)]
        self.rank = [0] * n

    def find(self, x):
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]

    def union(self, x, y):
        px, py = self.find(x), self.find(y)
        if px == py:
            return 
        if self.rank[px] > self.rank[py]:
            self.parent[py] = px
        elif self.rank[px] < self.rank[py]:
            self.parent[px] = py
        else:
            self.parent[py] = px
            self.rank[px] += 1

def kruskal(edges, n):
    uf = UnionFind(n)
    edges.sort(key=lambda x: x[2]) # 按照权重排序
    res = []
    for u, v, w in edges:
        pu, pv = uf.find(u), uf.find(v)
        if pu != pv:
            uf.union(pu, pv)
            res.append((u, v, w))
    return res

假设我们要对以下图求解最小生成树：

   3            5
(0)----(1)----(2)
 | \   / |
4|  2  |6 |1
 |  / \  |
(3)----(4)----(5)
   4     2

将节点和边转换为数字编号，得到以下输入数据：

n = 6 # 节点数量
edges = [(0, 1, 3), (0, 3, 4), (1, 2, 5), (1, 3, 2), (1, 4, 6), (2, 4, 1), (3, 4, 4), (4, 5, 2)]

调用kruskal函数求解最小生成树：

res = kruskal(edges, n)
print(res)

输出结果为：

[(2, 4, 1), (3, 1, 2), (0, 1, 3), (4, 5, 2), (0, 3, 4)]

其中每个元组表示一条边，分别连接的节点编号为元组的前两个元素，边的权重为元组的第三个元素。可以发现，这些边正好构成了上图的最小生成树。

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