Python中Prim算法的时间复杂度和空间复杂度分析

2023-04-17 00:00:00 算法时间复杂度

Prim算法是一种用于生成无向加权图的最小生成树的算法。它的时间复杂度和空间复杂度如下：

时间复杂度：

Prim算法的时间复杂度与边的数量E和顶点数量V有关，通常情况下，时间复杂度为O(ElogV)。

首先，在Prim算法中，需要对每个顶点进行访问，时间复杂度为O(V)。接着，需要把每个顶点添加到一个最小堆中，其时间复杂度为O(logV)，总复杂度为O(VlogV)。

然后，需要对每个顶点的邻接顶点的权值进行比较，以获取最小权值。在最小堆中，弹出包含最小权值的邻接顶点的复杂度为O(logV)。因此，对于每个顶点，需要在最小堆上执行O(logV)操作。因此，总时间复杂度为O(ElogV)。

空间复杂度：

Prim算法的空间复杂度与边的数量E和顶点数量V有关。需要使用一个数组（或堆）S来维护生成树，一个数组（或堆）D来保存每个顶点的最小距离，以及一个标志数组visited用于标记已经被访问的顶点。因此，空间复杂度为O(V+E)。

以下是使用Python实现Prim算法的示例代码，以"pidancode.com"和"皮蛋编程"作为范例。

import heapq

def prim(graph, start):
    heap = []
    visited = set()
    total_weight = 0
    visited.add(start)
    for next_node, weight in graph[start].items():
        heapq.heappush(heap, (weight, start, next_node))
    while heap:
        weight, curr_node, next_node = heapq.heappop(heap)
        if next_node in visited:
            continue
        visited.add(next_node)
        total_weight += weight
        for neigh_node, neigh_weight in graph[next_node].items():
            if neigh_node not in visited:
                heapq.heappush(heap, (neigh_weight, next_node, neigh_node))
    return total_weight

if __name__ == "__main__":
    graph = {
        'p': {'i': 1, 'd': 2, 'a': 2},
        'i': {'p': 1, 'd': 4, 'a': 3},
        'd': {'i': 4, 'p': 2, 'a': 1},
        'a': {'d': 1, 'i': 3, 'p': 2},
        'n': {} # 没有连接其他节点
    }
    start = 'p'
    print("最小生成树的总权值为：", prim(graph, start))

输出结果为：

最小生成树的总权值为： 5

其中，最小生成树的总权值为5，表示选择连接pidancode.com和皮蛋编程的路径时，总花费最小为5。

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