Kruskal算法详解：理解最小生成树问题及其解决方案
一、最小生成树问题
最小生成树问题是指在一个带权连通图中，找到一棵包含所有顶点且边权之和最小的生成树。所谓生成树，是指一个无向图中的生成树是该无向图的子图，它是一棵树，它包含了原图中的所有顶点且边数最小。
二、Kruskal算法的思想及流程
Kruskal算法的思路类似于贪心算法：
- 建立边集合E，将所有边按照边权从小到大排序；
- 初始化并查集，将每个节点都初始化成不同的集合；
- 依次将权值最小的边加入生成树中，若加入后不会形成环，则将该边加入生成树，否则舍弃该边；
- 重复步骤3，直至生成树中含有所有节点为止。
图解：以以下带权图为例，我们来演示Kruskal算法的流程。
-
将所有边按照边权从小到大排序，得到的边集合为：[(A,B,3), (B,D,3), (B,C,6), (A,E,7), (C,D,8), (D,F,9), (E,F,10), (C,E,12)]
-
初始化并查集，将每个节点都初始化成不同的集合。
| A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
- 依次将权值最小的边加入生成树中，若加入后不会形成环，则将该边加入生成树，否则舍弃该边。
第一条边为(A,B,3)，将其加入生成树中。此时，A和B在同一个集合中，更新并查集。
| A,B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
生成树：
第二条边为(B,D,3)，将其加入生成树中。此时，B和D在同一个集合中，更新并查集。
| A,B,D | C | E | F |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 4 | 5 |
生成树：
第三条边为(B,C,6)，将其加入生成树中。此时，B和C不在同一个集合中，加入该边不会形成环，更新并查集。
| A,B,C,D | E | F |
|---|---|---|
| 1 | 4 | 5 |
生成树：
第四条边为(A,E,7)，将其加入生成树中。此时，A和E不在同一个集合中，加入该边不会形成环，更新并查集。
| A,B,C,D,E | F |
|---|---|
| 1 | 5 |
生成树：
第五条边为(C,D,8)，将其加入生成树中。此时，C和D不在同一个集合中，加入该边不会形成环，更新并查集。
| A,B,C,D,E | F |
|---|---|
| 1 | 5 |
生成树：
第六条边为(D,F,9)，将其加入生成树中。此时，D和F不在同一个集合中，加入该边不会形成环，更新并查集。
| A,B,C,D,E,F |
|---|
| 1 |
生成树：
第七条边为(E,F,10)，将其加入生成树中。此时，E和F不在同一个集合中，加入该边不会形成环，更新并查集。
| A,B,C,D,E,F |
|---|
| 1 |
生成树：
第八条边为(C,E,12)，将其加入生成树中。此时，C和E不在同一个集合中，加入该边不会形成环，更新并查集。
| A,B,C,D,E,F |
|---|
| 1 |
生成树：
至此，生成树中含有所有节点，算法结束。
三、Kruskal算法的实现
实际上，Kruskal算法的核心在于并查集的实现，具体实现可以参考以下Python代码：
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