Python中最小生成树算法的性能优化方法

2023-04-17 00:00:00 算法 生成 最小

  1. 使用Kruskal算法代替Prim算法
    Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)，Prim算法的时间复杂度为O(ElogV)，因为在边比顶点多的情况下，ElogE的时间复杂度更优。同时Kruskal算法的空间复杂度比Prim算法低。

  2. 优化并查集（Union-Find）
    并查集是Kruskal算法中用来判断两个节点是否在同一集合中的数据结构，常用的实现方法是按秩合并和路径压缩。按秩合并算法中把矮树作为另一棵的子树，从而降低整棵树的高度，路径压缩算法中把遍历的节点直接挂到根节点下面，从而缩短查找路径。同时，可以通过路径压缩和按秩合并的结合使用来进一步优化并查集。

代码演示：

代码中展示了使用Kruskal算法和优化的并查集来实现最小生成树，其中包含路径压缩和按秩合并。

from collections import defaultdict

class Graph:
    def __init__(self):
        self.graph = defaultdict(list)

    def addEdge(self, u, v, w):
        self.graph[u].append((v, w))
        self.graph[v].append((u, w))

    def find(self, parent, i):
        if parent[i] == i:
            return i
        parent[i] = self.find(parent, parent[i])
        return parent[i]

    def union(self, parent, rank, x, y):
        xroot = self.find(parent, x)
        yroot = self.find(parent, y)

        if rank[xroot] < rank[yroot]:
            parent[xroot] = yroot
        elif rank[xroot] > rank[yroot]:
            parent[yroot] = xroot
        else:
            parent[yroot] = xroot
            rank[xroot] += 1

    def KruskalMST(self):
        result = []
        i = 0
        e = 0
        parent = []
        rank = []

        for node in self.graph:
            parent.append(node)
            rank.append(0)

        self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])

        while e < len(self.graph) - 1:
            u, v, w = self.graph[e]
            e += 1

            x = self.find(parent, u)
            y = self.find(parent, v)

            if x != y:
                e += 1
                result.append((u, v, w))
                self.union(parent, rank, x, y)

        return result

g = Graph()
g.addEdge('p', 'i', 2)
g.addEdge('i', 'd', 3)
g.addEdge('p', 'a', 3)
g.addEdge('a', 'd', 1)
g.addEdge('a', 'b', 1)
g.addEdge('b', 'd', 2)
g.addEdge('b', 'e', 4)
g.addEdge('d', 'e', 3)

print("Edges of the MST:")
result = g.KruskalMST()
for u, v, weight in result:
    print("%s - %s: %d" % (u, v, weight)))

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