详解Python实现Floyd算法的思路和步骤

2023-04-17 00:00:00 算法 步骤 详解

Floyd算法是用来求解所有点对最短路径的一种算法，同时也可以用来检测负环。其基本思想是动态规划，通过多次迭代更新每个点到其他点的最短路径。

步骤如下：

  1. 初始化邻接矩阵，如果两点之间没有边相连，则将其权值设为无穷大。

例如，对于以下图形：

     B
   /   \
A       D
   \   /
     C

可以建立如下的邻接矩阵：

    A   B   C   D
A   0   1  inf  1
B   1   0   1   1
C  inf  1   0   1
D   1   1   1   0
  1. 利用动态规划进行迭代更新。对于每一个节点i，考虑将其与其他节点j通过中间节点k相连的路径长度进行比较，若其中一条路径的长度更短，则更新该路径的长度。

具体实现可以使用一个三重循环来实现，其中i、j、k分别表示三个节点，dis[i][j]表示i到j的最短路径长度，那么更新的过程可以写成如下的伪代码：

for k in range(n):
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j]:
                dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j]
  1. 最终得到的邻接矩阵中，dis[i][j]表示从节点i到节点j的最短路径长度。

代码实现：

def floyd(graph):
    n = len(graph)
    # 初始化邻接矩阵
    dis = [[graph[i][j] for j in range(n)] for i in range(n)]
    # 动态规划求解
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                if dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j]:
                    dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j]
    return dis

graph = [
    [0, 1, float("inf"), 1],
    [1, 0, 1, 1],
    [float("inf"), 1, 0, 1],
    [1, 1, 1, 0]
]
dis = floyd(graph)
for row in dis:
    print(row)

输出结果为：

[0, 1, 2, 1]
[1, 0, 1, 1]
[2, 1, 0, 1]
[1, 1, 1, 0]

其中dis[i][j]表示从节点i到节点j的最短路径长度。例如，从节点1到节点4的最短路径为1 -> 2 -> 4，长度为1+1=2。

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