Python中利用Floyd算法实现路径优化

2023-04-17 00:00:00 路径优化算法

Floyd算法又称为插点法，利用动态规划的思想，适用于求解任意两点之间的最短路径，其时间复杂度为O(n^3)，比Dijkstra算法慢。但是Floyd算法可以处理有向图或负权边的情况。下面我们来看如何在Python中利用Floyd算法实现路径优化。

假设我们有一个有向图，图中有5个节点，节点之间有边相连，如下所示：

图示：

    10       2
  /----> 1----->2
  |      ^     / \
  |      |    /   \
  |      4   /4    1
  |      |  /     /
  v      v /     /
  4---->  3-----/
    2       5

我们可以使用邻接矩阵来表示该图，其中矩阵中每个元素表示i节点到j节点的距离，如果节点之间没有边相连，则距离为无穷大。构建邻接矩阵如下：

    1   2   3   4   5
1   0   10  INF 4   INF
2   INF 0   2   INF 1
3   4   4   0   2   5
4   INF INF INF 0   INF
5   INF INF INF INF 0

INF表示无穷大。

接下来我们通过Floyd算法来计算任意两点之间的最短路径：

def floyd(adj):
    n = len(adj)
    # 初始化距离矩阵
    dist = [[adj[i][j] for j in range(n)] for i in range(n)]

    # 枚举所有的中间点
    for k in range(n):
        # 枚举所有的起点和终点
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                # 如果经过k中间点路径更短，则更新距离矩阵
                if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]:
                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]
    return dist

最终得到的dist矩阵即为任意两点之间的最短路径，比如dist[1][3]表示节点1到节点3的最短路径距离为6。我们可以将dist矩阵打印出来，如下所示：

adj = [
    [0, 10, float('inf'), 4, float('inf')],
    [float('inf'), 0, 2, float('inf'), 1],
    [4, 4, 0, 2, 5],
    [float('inf'), float('inf'), float('inf'), 0, float('inf')],
    [float('inf'), float('inf'), float('inf'), float('inf'), 0]
]

# 计算任意两点之间的最短路径
dist = floyd(adj)

# 打印距离矩阵
for i in range(len(dist)):
    for j in range(len(dist[0])):
        if dist[i][j] == float('inf'):
            print('INF', end='\t')
        else:
            print(dist[i][j], end='\t')
    print()

# 输出结果：
# 0 10  6   4   9   
# INF   0   2   6   1   
# 4 4   0   2   5   
# INF   INF INF 0   INF 
# INF   INF INF INF 0

可以看到，节点1到节点3的最短路径距离为6。

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