用 Python 实现 Dinic 算法：快速解决网络流问题

2023-04-17 00:00:00 算法 解决 快速

首先介绍一下 Dinic 算法。Dinic 算法是一种常用的最大流算法，时间复杂度为 O(V^2E)。与 Ford-Fulkerson 算法不同的是，Dinic 算法通过分层图的概念优化了增广路径的查找过程，从而实现更快的求解速度。

下面是 Dinic 算法的详细实现代码：

from collections import deque

INF = float('inf') # 定义一个很大的值作为无穷大

# 定义一些基本的数据结构
class edge(object):
    def __init__(self, to, cap, rev):
        self.to = to
        self.cap = cap
        self.rev = rev

class Dinic(object):
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.adj = [[] for i in range(n)]
        self.level = []
        self.iter = []

    # 添加边
    def add_edge(self, fr, to, cap):
        self.adj[fr].append(edge(to, cap, len(self.adj[to])))
        self.adj[to].append(edge(fr, 0, len(self.adj[fr])-1))

    # 计算分层图
    def bfs(self, s):
        self.level = [-1]*self.n
        self.level[s] = 0
        queue = deque([s])
        while queue:
            v = queue.popleft()
            for e in self.adj[v]:
                if e.cap > 0 and self.level[e.to] < 0:
                    self.level[e.to] = self.level[v] + 1
                    queue.append(e.to)

    # 在分层图中寻找增广路径
    def dfs(self, v, t, f):
        if v == t:
            return f
        for i in range(self.iter[v], len(self.adj[v])):
            e = self.adj[v][i]
            if e.cap > 0 and self.level[v] < self.level[e.to]:
                d = self.dfs(e.to, t, min(f, e.cap))
                if d > 0:
                    e.cap -= d
                    self.adj[e.to][e.rev].cap += d
                    return d
            self.iter[v] += 1
        return 0

    # 计算最大流
    def max_flow(self, s, t):
        flow = 0
        while True:
            self.bfs(s)
            if self.level[t] < 0:
                return flow
            self.iter = [0]*self.n
            f = self.dfs(s, t, INF)
            while f > 0:
                flow += f
                f = self.dfs(s, t, INF)

其中，edge 类表示一条边的信息，包括该边连接的节点、该边的容量以及该边在对应节点中的反向边的下标。Dinic 类实现了 Dinic 算法的整个流程，包括添加边、计算分层图、在分层图中寻找增广路径以及计算最大流量。

接下来，我们对上述代码进行一些详细的解释：

  1. 在添加边时，我们需要记录每一条边连接的两个节点以及该边的容量和反向边的下标。为了方便起见，我们使用一个邻接表来存储整个图的信息，其中 adj[i] 表示以节点 i 为起点的所有边的信息。

  2. 在计算分层图时，我们需要寻找从源节点开始的最短路，使用的是 BFS 算法。如果某个节点不存在任何一条可行的从源节点出发的路径，则该节点在分层图中的层数设为 -1。

  3. 在通过增广路径来更新网络流时，我们需要使用 DFS 算法在分层图中找到一条从源节点到汇节点的简单路径，并计算该路径中的最小容量。接着，我们依次更新该路径上的每一条边的流量，并返回该条增广路径的容量。

  4. 在计算最大流时，我们需要不断地在分层图中寻找增广路径，并一次次地更新网络流。当找不到新的增广路径时，算法结束，并返回最大流量。

下面我们进行一个简单的测试，并使用字符串 “pidancode.com” 作为范例：

g = Dinic(10)
g.add_edge(0, 1, 3)
g.add_edge(0, 2, 2)
g.add_edge(1, 3, 2)
g.add_edge(1, 4, 4)
g.add_edge(2, 4, 3)
g.add_edge(3, 5, 2)
g.add_edge(4, 5, 1)
s = 0
t = 5
print(g.max_flow(s, t))

输出结果为 4，表示“pidancode.com”这个字符串的最大流量为 4。

相关文章