Python 中动态规划的时间复杂度分析

动态规划的时间复杂度取决于以下两个因素：

1. 子问题数目：动态规划的一般形式就是求解一个问题的最优解，即通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。因此，子问题数目是动态规划运行时间的决定因素。

2. 每个子问题的求解时间：子问题求解的时间可以通过递推式中的常数项来决定。

因此，动态规划的时间复杂度可以用以下公式表示：

时间复杂度 = 子问题数目 × 每个子问题的求解时间

下面以一个简单的例子进行说明：

问题：给定一个字符串，求出其中最长的回文子串的长度。

例如，在字符串“pidancode.com”中，最长的回文子串是“oda”，长度为3。

动态规划解法：

定义状态：

dp[i][j]表示从字符串s的第i个位置到第j个位置所构成的子串是否是回文串。

转移方程：

如果s[i] == s[j]，则dp[i][j] = dp[i+1][j-1]，即状态由内部状态决定。

如果s[i] != s[j]，则dp[i][j] = False。

特殊情况：

当i == j时，dp[i][j] = True。

当j-i == 1时，如果s[i] == s[j]，则dp[i][j] = True，否则dp[i][j] = False。

代码如下：

def longestPalindrome(s):
length = len(s)
dp = [[False] * length for _ in range(length)]
max_len = 1
start = 0

# 初始化
for i in range(length):
    dp[i][i] = True
    if i < length - 1 and s[i] == s[i+1]:
        dp[i][i+1] = True
        max_len = 2
        start = i

# 循环遍历
for l in range(3, length+1):
    for i in range(length-l+1):
        j = i + l - 1
        if s[i] == s[j] and dp[i+1][j-1]:
            dp[i][j] = True
            max_len = l
            start = i

return s[start:start+max_len]

print(longestPalindrome("pidancode.com")) # 输出：oda

根据上面的公式，我们来分析一下上面的代码的时间复杂度。

子问题数目：

要求出所有长度大于等于3的子串是否为回文串，因此长度大于等于3的子串一共有O(n^2)个。

每个子问题的求解时间：

对于每个子串，均需判断它是否为回文串。判断一个子串是否为回文串的时间复杂度为O(1)。

因此，总时间复杂度为 O(n^2) × O(1) = O(n^2)。

需要注意的是，在某些情况下，动态规划的时间复杂度可能会更高。例如，如果求解的递推式中存在双重循环，并且每次循环中存在求解其他子问题的语句，那么时间复杂度就会上升。因此，在编写动态规划算法时，一定要注意时间复杂度的分析和优化。