Python 中最小路径和问题的解决方法

在 Python 中，最小路径和问题可以使用动态规划算法来解决。

动态规划算法的核心思想是将问题分解为子问题，并将子问题的解决方案存储起来，避免重复计算，因为子问题的解决方案可能会被多次使用。同时，使用动态规划算法需要明确状态转移方程，即如何将子问题的解决方案结合起来求得原问题的解决方案。

对于最小路径和问题，我们可以将其视为一个网格中的路径问题，我们需要找到一条从左上角到右下角的路径，使得路径上经过的数字之和最小。

假设我们的网格为 matrix，其中 matrix[i][j] 表示第 i 行第 j 列的数字。我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从左上角到第 i 行第 j 列的数字之和最小的路径之和。状态转移方程为：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j]

这里的 dp[i-1][j] 表示从左上角开始，途经第 i-1 行第 j 列，到达第 i 行第 j 列的路径之和最小值。同理，dp[i][j-1] 表示从左上角开始，途经第 i 行第 j-1 列，到达第 i 行第 j 列的路径之和最小值。

最终解为 dp[-1][-1]，即从左上角到右下角的路径之和最小值。

下面是 Python 代码演示：

def minPathSum(matrix):
    m = len(matrix)
    n = len(matrix[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]

    dp[0][0] = matrix[0][0]

    # 初始化第一行和第一列
    for i in range(1, m):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + matrix[i][0]

    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + matrix[0][j]

    # 状态转移方程
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j]

    return dp[-1][-1]

# 范例
matrix = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
print(minPathSum(matrix)) # 输出 7

假设我们的范例中，输入的 matrix 为：

1 3 1
1 5 1
4 2 1

我们在初始化第一行和第一列时，可以得到以下的 dp 值：

1 4 5
2 0 0
6 0 0

然后，我们根据状态转移方程依次计算 dp 值，得到最终 dp 值：

1 4 5
2 7 6
6 8 7

最后，我们的最小路径和为 7，即从左上角到右下角的路径上经过的数字之和最小。