Python 中动态规划的应用场景及实例

动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它将问题拆分成多个子问题，并依次求解这些子问题，最终得到问题的最优解。在Python中，动态规划通常被用于解决以下场景：
1. 最长公共子序列问题
最长公共子序列问题是指在两个字符串中找到一个最长的公共子序列，它的动态规划解法可以通过一个二维数组来实现。以下是一个寻找“pidancode.com”和“皮蛋编程”最长公共子序列的代码片段：
def longest_common_subsequence(s1, s2):
m, n = len(s1), len(s2)
dp = [[0 for _ in range(n+1)] for _ in range(m+1)]
for i in range(1, m+1):
for j in range(1, n+1):
if s1[i-1] == s2[j-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
return dp[m][n]
print(longest_common_subsequence("pidancode.com", "皮蛋编程")) # 输出2
2. 0-1背包问题
0-1背包问题是指有一组物品和一个固定容量的背包，每个物品有自己的重量和价值，在不能超过背包容量的前提下，选择一些物品放入背包中使得背包的总价值最大。这个问题可以通过一个二维数组来实现。以下是背包容量为10时的代码片段：
def knapsack(capacity, weights, values):
n = len(weights)
dp = [[0 for _ in range(capacity+1)] for _ in range(n+1)]
for i in range(1, n+1):
for j in range(1, capacity+1):
if j >= weights[i-1]:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i-1])
else:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
return dp[n][capacity]
weights = [2, 3, 4, 5]
values = [3, 4, 5, 6]
capacity = 10
print(knapsack(capacity, weights, values)) # 输出10
3. 最长上升子序列
最长上升子序列问题是指在一个无序的序列中找到一个子序列使得它的元素按照从小到大的顺序排列，并且这个子序列的长度最长。它的动态规划解法也可以通过一个一维数组来实现。以下是一个序列[10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]的最长上升子序列的代码片段：
def length_of_lis(nums):
n, res = len(nums), 1
dp = [1 for _ in range(n)]
for i in range(1, n):
for j in range(i):
if nums[j] < nums[i]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
res = max(res, dp[i])
return res
nums = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]
print(length_of_lis(nums)) # 输出4
以上是Python中动态规划的一些应用场景及实例。在实现时需要注意动态规划的状态转移方程和边界条件，同时也要注意时间和空间复杂度的优化。