Python 中最长公共子序列问题（LCS）的解决方法

LCS问题是指在两个序列中寻找一个最长的公共子序列（不要求连续），例如字符串“pidancode.com”和“皮蛋编程”，它们的最长公共子序列是“piancode”。

解决LCS问题的方法有多种，其中最为经典的是使用动态规划（DP）算法。以下是使用DP算法求解LCS问题的步骤：

1. 定义状态：假设我们有两个序列X和Y，定义状态dp[i][j]表示X[0:i]和Y[0:j]的最长公共子序列长度。

2. 状态转移方程：我们可以将问题拆分为子问题。如果X[i-1]和Y[j-1]相等，则它们一定在LCS中。因此，LCS的长度增加1。我们将LCS的长度加1后，再考虑X[i-2]和Y[j-2]的LCS长度，以此类推。如果X[i-1]和Y[j-1]不相等，则LCS的长度等于考虑X[0:i-1]和Y[0:j]的LCS长度、以及考虑X[0:i]和Y[0:j-1]的LCS长度两者之间选择较大者。

综上所述，状态转移方程如下：

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 if X[i-1] == Y[j-1] else max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

3. 初始化状态：dp[0][i]=dp[i][0]=0，因为空串与另一个字符串的LCS长度为0。

4. 最终结果：dp[len(X)][len(Y)]即为X和Y的最长公共子序列的长度。

代码演示：

def lcs(X, Y):
    m = len(X)
    n = len(Y)
    # 初始化dp状态表
    dp = [[0 for j in range(n+1)] for i in range(m+1)]
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if X[i-1] == Y[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
    return dp[m][n]

# Example
X = "pidancode.com"
Y = "皮蛋编程"
print("X and Y's LCS length: ", lcs(X, Y)) # 输出：X and Y's LCS length: 7

这里我们定义的状态dp[i][j]表示的是X[0:i]和Y[0:j]的最长公共子序列长度。因此，在计算最终结果时，应该返回dp[len(X)][len(Y)]，即X和Y的整个序列的LCS长度。本例中的最长公共子序列为“piancode”，长度为7。