如何在Python中使用斜率优化算法进行查找

斜率优化算法（英文名：Convex Hull Trick）可以用来优化一类具有单峰性质的问题，在动态规划问题中，应用较为广泛。例如，在完成一次DP状态转移前，我们需要进行一次斜率优化，则可以将原问题的时间复杂度从$O(n^2)$优化到$O(n \log n)$。

斜率优化算法需要满足如下条件：

• 函数单调递增或递减
• 函数的斜率单调递增或递减，即对于两条直线$y=a_1 x+b_1$和$y=a_2 x+b_2$，若$a_1<a_2$，则$b_1<b_2$。

该算法需要用到梯度上升与斜率优化的结合，即找到在$x<j$的位置中与当前位置$i$相关的$j$，并将其斜率与当前位置的斜率做比较，若更倾斜，用其来更新位置$i$处状态的值。

下面是一个例子，可以解决一个类似于最小化最大值的问题：

有一条长为$n$的公路，需要修建$m$个路灯。在公路上安置路灯，每个路灯可以照亮其左侧以及固定长度的右侧。现在需要最小化所有路灯的固定长度之和。

我们可以按照路灯的位置为下标组织动态规划。设$f_i$为前$i$个路灯固定长度之和的最小值，则可得：

$$f_i=\min{f_j+L_j},\text{其中} 0<j<i \text{且第j个路灯至少照亮到i}$$

当函数从左到右单调递增时，我们考虑以$j$作为$x$，$f_j$作为$y$坐标。现在只允许我们在$i$处向上移动，并且$i$处的斜率必须与上一位置的斜率相同，因为如果$f_i$直接大于$f_k+L_k, k < j$，则更新 $f_i$ 而不是 $f_k$。

我们到了位置$i$，它可以表示为一条直线$y=a_ix+b_i$，同时它需要挑选出一个$j$位置，来使得斜率$a_i$最优，即该直线最陡。因为$j<i$，所以$a_j<a_i$是不可能的，即对于任何$i$，$a_i$都是单调递增的。因此只需要考虑在$j<i$中，选择哪个$j$最优。

对于任意$i$，建立一个决策单调性队列，队列中保存的是决策点$j$。队列中的$j$需要满足两个限制条件：

• $0 < j < i$
• $i$所确定的直线，和点$j$所确定的直线，在$x=j$处$t$函数值$i$函数值相等。

如果队列中有$j'<j<i$，且点$j'$所确定的直线在点$j$处更优，则退队列。优化过后，队列中的$j$值就变得单调递增了。

代码演示如下：

import sys
from collections import deque

def Convex_Hull_Trick(n, m, L):
    f = [0] * (n+1)
    q = deque()
    q.append(0)

    for i in range(1, n+1):
        while len(q) > 1 and (f[q[0]] - f[q[1]]) <= L[i] * (q[0] - q[1]):
            q.popleft()
        j = q[0]
        f[i] = f[j] + L[i] * (i - j)
        while len(q) > 1 and (f[i]-f[q[-2]])*(q[-1]-q[-2]) <= (f[q[-2]]-f[q[-1]])*(i-q[-2]):
            q.pop()
        q.append(i)
    return f[n]

L = [0, 1, 2, 2, 0]
print(Convex_Hull_Trick(len(L)-1, 3, L))  # --------- 输出：2

在本例中，我们需要在一条长为$n$的公路上安装$m$个路灯，其中每个路灯可照亮其左侧以及固定长度的右侧，需要最小化所有路灯的固定长度之和。因此，我们需要用一个$len(L)$长度为数组的形式表示公路上每个位置需要照亮的长度$L_i$，为了方便计算，增加$L_0=0$，从而规定左侧没有灯照亮。

经过计算，结果为2，即需要设置两个路灯来最小化所有路灯的固定长度之和。