Python递归实现二项堆数据结构

2023-04-16 00:00:00 python 递归数据结构

二项堆是一种基于二项树的数据结构，它支持插入、删除最小元素、合并等操作，使得这些操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$。
二项树是一种多叉树，每个节点有一个关键字和一个指向其儿子节点的指针列表。具体地，一颗 $i$ 级的二项树由节点 $x_i$ 和 $i-1$ 个儿子节点 $x_{i-1}, x_{i-2},\dots,x_0$ 组成，其中 $x_i$ 的度数为 $i-1$，而每个 $x_{i-1},x_{i-2},\dots,x_0$ 的度数都不超过 $i-2$。
二项堆由若干颗二项树组成。为了保持堆的性质，二项堆要求每个二项树的根节点的关键字不大于其父节点的关键字，即满足堆的性质。
接下来，我们将使用 Python 语言实现二项堆数据结构。
首先，我们定义一个二项树节点的类，它包含三个属性：关键字（key）、度数（degree）和指向其儿子节点的指针列表（children）。

class BinomialTree:
    def __init__(self, key):
        self.key = key
        self.degree = 0
        self.children = []

接着，我们定义一个二项堆类，它包含一个指向根节点的指针列表（roots）。

class BinomialHeap:
    def __init__(self):
        self.roots = []

为了实现二项堆的各种操作，我们需要定义一些辅助函数来处理二项树和二项堆。
首先，我们定义一个将两个二项树合并成一个的函数 merge。

def merge(t1, t2):
    if t1.key > t2.key:
        t1, t2 = t2, t1
    t1.children.append(t2)
    t1.degree += 1
    return t1

该函数首先对两个树的根节点进行比较，将较小的作为新树的根节点，并将较大的树作为新树的子树加入到新树的子树列表中。最后，更新新树的度数，并返回新树。
接下来，我们定义一个将一个二项树插入到二项堆中的函数 insert。

def insert(self, key):
    new_tree = BinomialTree(key)
    self.roots.append(new_tree)
    self._merge_roots()

该函数首先创建一个包含给定关键字的新树，然后将其加入到二项堆的根节点列表中，最后调用辅助函数 _merge_roots 来合并根节点列表中的树，以保持堆的性质。

def _merge_roots(self):
    i = 0
    while i < len(self.roots) - 1:
        j = i + 1
        k = None
        while j < len(self.roots) and self.roots[i].degree == self.roots[j].degree:
            k = merge(self.roots[i], self.roots[j])
            del self.roots[j]
            self.roots[i] = k
        i += 1

该函数使用类似归并排序的方式合并根节点列表中的树。具体地，它遍历根节点列表，将相邻的度数相同的树进行合并，直到根节点列表中不存在度数相同的树。
接下来，我们定义一个查找二项堆中最小元素的函数 find_min。

def find_min(self):
    if not self.roots:
        return None
    min_node = self.roots[0]
    for root in self.roots:
        if root.key < min_node.key:
            min_node = root
    return min_node.key

该函数首先检查根节点列表是否为空，如果是，则返回空值。如果根节点列表不为空，则遍历根节点列表，找到最小关键字的树，并返回其关键字值。
接下来，我们定义一个删除二项堆中最小元素的函数 delete_min。

def delete_min(self):
    if not self.roots:
        return None
    min_node = self.roots[0]
    min_index = 0
    for i, root in enumerate(self.roots):
        if root.key < min_node.key:
            min_node = root
            min_index = i
    new_heap = BinomialHeap()
    new_heap.roots = min_node.children[::-1]
    del self.roots[min_index]
    self._merge_roots()
    self.roots += new_heap.roots

该函数首先检查根节点列表是否为空，如果是，则返回空值。如果根节点列表不为空，则遍历根节点列表，找到最小关键字的树，并将其子树列表中的树构造成一个新的二项堆。然后，删除最小关键字的树，并调用辅助函数 _merge_roots 来合并根节点列表以保持堆的性质。最后，将新堆的根节点列表加入到原二项堆的根节点列表中。
最后，我们定义一个合并两个二项堆的函数 merge。

def merge(self, other):
    self.roots += other.roots
    self._merge_roots()

该函数将其他二项堆的根节点列表加入到当前堆的根节点列表中，然后调用辅助函数 _merge_roots 合并根节点列表以保持堆的性质。
现在，我们可以利用定义的类和函数来实现一个二项堆，并测试其各种操作的正确性。

heap = BinomialHeap()
heap.insert(5)
heap.insert(3)
heap.insert(2)
heap.insert(4)
print(heap.find_min())  # 输出 2
heap.delete_min()
print(heap.find_min())  # 输出 3
other_heap = BinomialHeap()
other_heap.insert(6)
other_heap.insert(1)
heap.merge(other_heap)
print(heap.find_min())  # 输出 1

以上代码演示了如何使用二项堆类来构建二项堆、插入元素、删除最小元素、合并堆、查找最小元素等操作，并验证了其正确性。

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