Python递归实现矩阵快速幂算法
矩阵快速幂是一种高效的算法，特别适合用于计算很大的数的幂。它的基本思想是利用矩阵乘法的性质，将计算幂转化为矩阵乘法，从而达到减少运算次数的目的。
Python递归实现矩阵快速幂算法的代码如下：
def matrix_pow(matrix, n):
if n == 1:
return matrix
if n % 2 == 0:
matrix_half = matrix_pow(matrix, n/2)
return matrix_mul(matrix_half, matrix_half)
else:
matrix_half = matrix_pow(matrix, (n-1)/2)
return matrix_mul(matrix, matrix_mul(matrix_half, matrix_half))
这里使用了一个 matrix_mul() 函数，用于计算两个矩阵的乘积。下面是 matrix_mul() 函数的代码：
def matrix_mul(matrix1, matrix2):
n1, m1 = len(matrix1), len(matrix1[0])
n2, m2 = len(matrix2), len(matrix2[0])
if m1 != n2:
raise ValueError("Invalid matrix dimensions.")
result = [[0]*m2 for _ in range(n1)]
for i in range(n1):
for j in range(m2):
for k in range(m1):
result[i][j] += matrix1[i][k] * matrix2[k][j]
return result
上面的代码中，matrix 参数是一个二维数组，用于表示要计算幂的矩阵。n 参数是需要计算的幂次。首先判断若幂次为 1，直接将矩阵返回；若幂次为偶数，则递归计算n/2次幂，然后将结果相乘；若幂次为奇数，则先计算 (n-1)/2 次幂，再将矩阵自乘一次，最后将两个结果相乘。
这个算法的时间复杂度为 O(log n)，因为每次递归幂次都会减半，所以递归层数最多为 log n 层。因此，矩阵乘法的次数也最多为 log n 次，所以该算法的时间复杂度是 O(log n) 的。
以下是一个完整的 Python 代码示例，使用“pidancode.com”作为范例字符串：
def matrix_pow(matrix, n):
if n == 1:
return matrix
if n % 2 == 0:
matrix_half = matrix_pow(matrix, n/2)
return matrix_mul(matrix_half, matrix_half)
else:
matrix_half = matrix_pow(matrix, (n-1)/2)
return matrix_mul(matrix, matrix_mul(matrix_half, matrix_half))
def matrix_mul(matrix1, matrix2):
n1, m1 = len(matrix1), len(matrix1[0])
n2, m2 = len(matrix2), len(matrix2[0])
if m1 != n2:
raise ValueError("Invalid matrix dimensions.")
result = [[0]*m2 for _ in range(n1)]
for i in range(n1):
for j in range(m2):
for k in range(m1):
result[i][j] += matrix1[i][k] * matrix2[k][j]
return result
a = [[1, 2], [3, 4]]
result = matrix_pow(a, 3)
for row in result:
print(row)
输出结果为：
[37, 54] [81, 118]
以上代码中，首先定义了 matrix_pow() 和 matrix_mul() 两个函数；然后使用 a 定义了一个 $2\times 2$ 的矩阵；最后计算了矩阵 a 的立方，将结果保存到 result 变量中，并打印了结果。可以看到输出结果符合预期。
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