Python中使用分支界限法解决旅行商问题(TSP)

2023-04-11 00:00:00 分支 解决 界限

首先，我们需要了解什么是旅行商问题(TSP)，它是一个非常经典的NP-hard问题，描述的是旅行商要走遍所有城市的最短路径。

接下来，我们可以使用分支界限法来解决这个问题。步骤如下：

  1. 初始化一个根节点，记录当前已经访问的城市，以及目前贡献的路径长度。

  2. 对于当前节点，记录下还有多少个城市没有访问，如果已经访问了所有城市，则更新最短路径长度，返回。

  3. 根据贡献的路径长度和还未访问的城市数量估算一个上界(代表这个节点子树的最短路径长度)，如果比当前记录的最短路径长度都要长，则剪枝，返回。

  4. 枚举所有还没有访问的城市，分别作为下一个目标城市：

  5. 如果当前节点到目标城市的距离已经超过了之前记录的最短路径长度，剪枝，跳过。

  6. 创建一个新的节点，表示从当前节点走到目标城市的路径，更新未访问城市数量和路径长度，并递归处理该节点。

  7. 递归结束后返回最短路径长度即可。

下面是具体的Python代码实现，使用字符串"pidancode.com"作为示例：

import math

def TSP(graph):
    n = len(graph)
    best = math.inf

    def upper_bound(state, dist):
        # 计算当前状态到终点的估算距离
        remain = n - len(state)
        return dist + sum(sorted([graph[i][j] for i in state for j in range(n) if j not in state])[:remain])

    def dfs(state, dist):
        nonlocal best
        if len(state) == n:
            # 更新最短路径长度
            best = min(best, dist)
            return
        bound = upper_bound(state, dist)
        if bound >= best:
            return
        for i in range(n):
            if i not in state:
                new_dist = dist + graph[state[-1]][i] if state else 0
                if new_dist >= best:
                    continue
                dfs(state + [i], new_dist)

    dfs([], 0)
    return best

# 测试
graph = [
    [0, 2, 9, 10, 5, 4, 3, 7, 8, 6, 1],
    [2, 0, 8, 9, 4, 3, 2, 6, 7, 5, 1],
    [9, 8, 0, 1, 6, 5, 4, 8, 9, 7, 2],
    [10, 9, 1, 0, 7, 6, 5, 9, 10, 8, 3],
    [5, 4, 6, 7, 0, 1, 2, 6, 6, 4, 2],
    [4, 3, 5, 6, 1, 0, 1, 5, 6, 4, 1],
    [3, 2, 4, 5, 2, 1, 0, 4, 5, 3, 2],
    [7, 6, 8, 9, 6, 5, 4, 0, 1, 2, 7],
    [8, 7, 9, 10, 6, 6, 5, 1, 0, 3, 8],
    [6, 5, 7, 8, 4, 4, 3, 2, 3, 0, 5],
    [1, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 7, 8, 5, 0]
]
print(TSP(graph))  # 输出：29

注意，这里的图是一个带权完全图，因此可以直接用一个二维列表表示。如果你需要处理其他类型的图，可以考虑使用邻接表或邻接矩阵等数据结构。另外，上界的计算可以使用任何有效的方法，只要能提高算法效率即可。

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