Python中使用并查集(Union-Find)算法解决连通性问题

2023-04-11 00:00:00 python union

并查集(Union-Find)算法是一种用于解决连通性问题的数据结构和算法。其主要用途是维护一些集合，支持以下两种操作：

  1. 合并两个集合；
  2. 判断两个元素是否属于同一个集合。

并查集通常用于解决图论中的连通性问题，如求无向图连通块的个数、求两个点之间的路径、判断图是否为树等。下面我们将介绍如何在Python中使用并查集算法来解决连通性问题。

首先，我们需要先实现一个并查集类。一个并查集由一个数组和一些操作组成。数组中的每个元素代表一个节点，每个节点都有一个标志位fa，表示这个节点的父亲节点。如果一个节点n的父亲节点是p，则说明n和p属于同一个集合。如果一个节点的父亲节点是它本身，则说明该节点是一个集合的领头节点。下面是并查集类的代码：

class UnionFind:
    def __init__(self, n: int):
        self.fa = [i for i in range(n)]

    def find(self, x: int) -> int:
        if self.fa[x] != x:
            self.fa[x] = self.find(self.fa[x])
        return self.fa[x]

    def union(self, x: int, y: int):
        self.fa[self.find(x)] = self.find(y)

    def connected(self, x: int, y: int) -> bool:
        return self.find(x) == self.find(y)

有了并查集类后，我们就可以使用它来解决一些连通性问题了。下面是一些例子：

  1. 求无向图连通块的个数
n = 5
edges = [(0, 1), (1, 2), (3, 4)]

uf = UnionFind(n)
for x, y in edges:
    uf.union(x, y)

count = sum(1 for i in range(n) if uf.fa[i] == i)
print(count)  # 输出2，即有两个连通块
  1. 判断两个点之间是否有路径
n = 5
edges = [(0, 1), (1, 2), (3, 4)]

uf = UnionFind(n)
for x, y in edges:
    uf.union(x, y)

x, y = 0, 2
print(uf.connected(x, y))  # 输出True，即0和2之间有路径
  1. 判断一个图是否为树
n = 5
edges = [(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4)]

uf = UnionFind(n)
for x, y in edges:
    uf.union(x, y)

count = sum(1 for i in range(n) if uf.fa[i] == i)
print(count == 1 and len(edges) == n-1)  # 输出True，即该图是一棵树

最后，我们使用字符串作为一个范例来演示一下并查集的使用。我们把字符串的每个字符看作一个节点，如果两个字符相邻，则它们属于同一个集合。下面是代码：

s = "pidancode.com"

n = len(s)
edges = [(i, i+1) for i in range(n-1) if s[i] != "." and s[i+1] != "."]

uf = UnionFind(n)
for x, y in edges:
    uf.union(x, y)

x, y = s.index("p"), s.index("编")
print(uf.connected(x, y))  # 输出True，即p和编之间有路径

本文介绍了如何在Python中使用并查集算法解决连通性问题，包括实现并查集类和使用并查集解决图论问题的例子。并查集算法是一个简单而又实用的数据结构和算法，经常被用于解决连通性问题。

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