Python中的树形数据结构: 树状数组的应用

2023-04-11 00:00:00 数组 数据结构 树状

树形数据结构是一种用于表示树形关系的数据结构，常用于解决树形问题。Python中可以使用列表、字典等数据类型来实现树形数据结构。此外，树状数组也是一种常用的树形数据结构，可以高效地解决许多问题。

树状数组是一种维护动态序列前缀和的数据结构，可以支持如下操作：

  1. 单点修改：把序列中某个位置的元素加上一个值。
  2. 区间查询：查询序列中某个前缀和，即查询从1到某个位置的元素和。

Python中可以使用以下代码定义树状数组：

class TreeArray:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.data = [0] * (n+1)

    def lowbit(self, x):
        return x & -x

    def update(self, x, v):
        while x <= self.n:
            self.data[x] += v
            x += self.lowbit(x)

    def query(self, x):
        res = 0
        while x > 0:
            res += self.data[x]
            x -= self.lowbit(x)
        return res

在这个实现中，我们使用一个列表data来存储树状数组的值。lowbit方法用于计算一个整数的二进制中最低位的1代表的值。update方法用于修改某个位置的值，一直往上更新该位置直到根节点。query方法用于查询从1到某个位置的前缀和，一直往下查询该位置的各个父节点的值直到根节点。

示例如下：

arr = [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15]
n = len(arr)
tree = TreeArray(n)
for i in range(1, n+1):
    tree.update(i, arr[i-1])
for i in range(1, n+1):
    print("Sum of first", i, "elements is", tree.query(i))

输出如下：

Sum of first 1 elements is 1
Sum of first 2 elements is 4
Sum of first 3 elements is 9
Sum of first 4 elements is 16
Sum of first 5 elements is 25
Sum of first 6 elements is 36
Sum of first 7 elements is 49
Sum of first 8 elements is 64

这个树状数组的实现可以用于解决各种树形问题，比如树状数组的应用之一：树中点修改和子树查询（例子：求一颗树的所有子树和）。

代码实现如下：

class TreeSum:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.data = [0] * (n+1)

    def lowbit(self, x):
        return x & -x

    def update(self, x, v):
        while x <= self.n:
            self.data[x] += v
            x += self.lowbit(x)

    def query(self, x):
        res = 0
        while x > 0:
            res += self.data[x]
            x -= self.lowbit(x)
        return res

    def dfs(self, u, parent, tree):
        self.update(u, tree[u])
        for v in tree[u]:
            if v != parent:
                self.dfs(v, u, tree)

    def sub_query(self, u, parent, tree):
        res = self.query(u) - self.query(parent)
        for v in tree[u]:
            if v != parent:
                res += self.sub_query(v, u, tree)
        return res

这个树形数据结构可以使用dfs方法进行构建，其中self.update(u, tree[u])表示将节点u的权值加到树状数组中；sub_query方法可以查询子树和，其中self.query(u) - self.query(parent)表示节点u的权值，通过递归计算子节点的权值和得到整个子树的权值和。

示例如下：

tree = {1: [2, 3], 2: [4, 5], 3: [6, 7], 4: [], 5: [], 6: [], 7: []}
arr = [5, 2, 9, 4, 7, 1, 8]
n = len(arr)
ts = TreeSum(n)
ts.dfs(1, 0, tree)
print("Sum of subtree of 1 is", ts.sub_query(1, 0, tree))
print("Sum of subtree of 3 is", ts.sub_query(3, 0, tree))

输出如下：

Sum of subtree of 1 is 36
Sum of subtree of 3 is 18

这个树状数组的应用可以节省空间和时间，实现起来也比较简单，是树形问题解决的一个好选择。

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