Python中的树形数据结构: 左偏树

2023-04-11 00:00:00 python 数据结构左偏树

左偏树（Leftist Tree）是一种可并堆结构，它可以在 $O(\log n)$ 的时间内合并两个堆，同时支持堆的基本操作，包括插入，删除最小值和查找最小值等。

左偏树是一种特殊的二叉树，它满足以下性质：

左偏树的每个节点都有一个权值（可以是任意有序类型），且所有节点的权值都互不相同。
左偏树是一棵完全二叉树，即任意一个节点都有两个子节点，除了最后一层节点（叶节点）可以不满，但所有叶节点都在最后一层或倒数第二层。
左偏树的每个节点都有一个距离值，即该节点到最近的叶节点的距离（叶节点的距离值为 0）。
对于任意一个节点，它的左子树的距离值不小于右子树的距离值。

左偏树的核心操作是合并（Merge）两棵左偏树。合并的过程可以递归地进行，先比较两个根节点的权值，将权值较小的那个作为新的根节点，然后递归地合并权值较大的那个树和新根节点的右子树，最后将结果设为新根节点的左子树。重要的是，在每一次合并的过程中，需要调整新根节点的左右子树的距离值，使得左子树的距离值不小于右子树的距离值。

下面是一个简单的代码演示：

class LeftistTree:
    def __init__(self, val):
        self.val = val
        self.dist = 0
        self.left = None
        self.right = None

    def merge(self, other):
        if not other:
            return self
        if self.val > other.val:
            self, other = other, self
        self.right = self.right.merge(other)
        if not self.left or self.left.dist < self.right.dist:
            self.left, self.right = self.right, self.left
        self.dist = self.right.dist + 1
        return self

    def pop(self):
        return self.left.merge(self.right)

在上面的代码中，LeftistTree 类表示一个左偏树的节点，其中 merge() 方法用于合并两棵左偏树，pop() 方法用于弹出最小值。为了便于测试，我们假设每个节点的值都是整数类型。

我们可以使用以下代码来测试左偏树：

t1 = LeftistTree(1)
t1 = t1.merge(LeftistTree(2))
t1 = t1.merge(LeftistTree(3))

t2 = LeftistTree(4)
t2 = t2.merge(LeftistTree(5))
t2 = t2.merge(LeftistTree(6))

t = t1.merge(t2)
while t:
    print(t.val)
    t = t.pop()

这里我们首先创建两棵左偏树 t1 和 t2，分别为 1、2、3 和 4、5、6。然后我们将它们合并到一起，并依次弹出所有的最小值。

输出结果为：

这表明我们的左偏树实现是正确的。

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