Python中的树形数据结构: 线段树的区间查询
线段树（Segment Tree）是一种树形数据结构，用于高效地解决区间查询问题。它能够在 $O(\log{n})$ 时间内进行区间查询和单点修改。
在线段树中，每个节点代表一个区间，叶子节点代表单个元素。每个节点都有一个值，表示该区间的信息，如最大值、最小值、求和等等。这些值都可以通过递归计算得到。
线段树的建立过程可以用递归实现。每次递归将当前节点的区间一分为二，然后递归处理左右两个子区间，直到区间缩小到只有一个元素，即到达叶子节点。递归回溯时，将左右子节点的值合并，得到当前节点的值。
区间查询也可以用递归实现。首先判断当前节点所代表的区间是否完全包含目标区间，如果不是则分别递归左右子节点进行查询，然后将结果合并。如果当前节点所代表的区间完全包含目标区间，则直接返回当前节点的值。
单点修改也可以用递归实现。找到包含修改点的叶子节点，更新其值，然后递归向上更新祖先节点的值。
下面是一个使用线段树实现区间查询的例子，其中的元素为字符串：
class SegmentTree: def __init__(self, arr): self.arr = arr self.tree = [None] * (4 * len(arr)) self._build(1, 0, len(arr) - 1) def _build(self, v, l, r): if l == r: self.tree[v] = self.arr[l:l+1] else: m = (l + r) // 2 self._build(2*v, l, m) self._build(2*v+1, m+1, r) self.tree[v] = self.tree[2*v] + self.tree[2*v+1] def query(self, ql, qr): return self._query(1, 0, len(self.arr) - 1, ql, qr) def _query(self, v, l, r, ql, qr): if ql > qr: return "" if l == ql and r == qr: return self.tree[v] m = (l + r) // 2 left = self._query(2*v, l, m, ql, min(qr, m)) right = self._query(2*v+1, m+1, r, max(ql, m+1), qr) return left + right def update(self, i, val): self._update(1, 0, len(self.arr) - 1, i, val) def _update(self, v, l, r, i, val): if l == r: self.tree[v] = val else: m = (l + r) // 2 if i <= m: self._update(2*v, l, m, i, val) else: self._update(2*v+1, m+1, r, i, val) self.tree[v] = self.tree[2*v] + self.tree[2*v+1]
上面的例子可以用来实现字符串的区间查询和单点修改。
示例使用：
arr = "pidancode.com" st = SegmentTree(arr) # 查询区间[0, 3] print(st.query(0, 3)) # "pida" # 修改第一个字符为"q" st.update(0, "q") print(st.query(0, 3)) # "qida"
注意，上面的查询和修改操作中，左右端点均为闭区间。如果需要修改为半开区间，在处理时需要做相应的调整。同时需要注意空字符串的处理。
相关文章