Python中的树形数据结构: Cartesian树
Cartesian tree是一种特殊的二叉树，它的中序遍历刚好是原始序列本身，而且满足堆的性质。具体来说，对于每个节点，它的值大于（或小于）其左子树和右子树的所有节点值。
因此，我们可以利用这个性质来构建一个Cartesian tree。具体过程如下：
-
将序列中的元素一个个插入到树中，构建出一棵二叉树。
-
对于每个新插入的元素，与其父节点比较大小。如果比父节点小，则成为其左子节点；如果比父节点大，则成为其右子节点。
-
重复以上步骤，直到所有元素都插入到树中。
下面是一个简单的Python实现：
class TreeNode: def __init__(self, val): self.val = val self.left = None self.right = None def build_cartesian_tree(nums): stack = [] for num in nums: node = TreeNode(num) while stack and node.val < stack[-1].val: node.left = stack.pop() if stack: stack[-1].right = node stack.append(node) return None if not stack else stack[0]
接下来演示一下如何利用Cartesian tree求解一些问题。
- 求解最大二叉搜索树
由于Cartesian tree具有堆的性质，我们可以利用这个性质来求解最大二叉搜索树。
具体步骤如下：
-
遍历Cartesian tree，找到最大的BST的根节点。
-
分别递归求解左子树和右子树的最大BST。
下面是Python实现：
def largest_bst_subtree(root):
if root is None:
return 0
if is_bst(root):
return count_node(root)
return max(largest_bst_subtree(root.left), largest_bst_subtree(root.right))
def is_bst(root):
prev = float('-inf')
stack = []
node = root
while stack or node:
while node:
stack.append(node)
node = node.left
node = stack.pop()
if node.val <= prev:
return False
prev = node.val
node = node.right
return True
def count_node(root):
if root is None:
return 0
return 1 + count_node(root.left) + count_node(root.right)
- 求解区间最大值
利用Cartesian tree可以有效地求解区间最大值。
步骤如下：
-
找到左端点所在的节点。
-
找到右端点所在的节点。
-
在上述两个节点及其祖先中找到最大值。
下面是Python实现：
def query_max(cartesian_tree, start, end):
left_node = find(cartesian_tree, start)
right_node = find(cartesian_tree, end)
ancestors = []
node = left_node
while node:
ancestors.append(node)
node = node.val < start and node.right or node.left
node = right_node
while node:
if node in ancestors:
return node.val
node = node.val > end and node.left or node.right
return float('-inf')
def find(root, val):
if root is None or root.val == val:
return root
return find(root.left, val) or find(root.right, val)
以上就是关于Cartesian tree的相关介绍和实现。
相关文章