如何使用 Python 堆实现自动微分算法？

2023-04-11 00:00:00 算法 如何使用 微分

Python 中默认提供了 heapq 模块用于实现堆数据结构，可以用来实现自动微分算法。以下是具体实现步骤：

  1. 定义一个节点类 Node，包含三个属性：值 value、梯度 gradient 和父节点 parent。
class Node:
    def __init__(self, value, gradient=None, parent=None):
        self.value = value
        self.gradient = gradient if gradient else {}
        self.parent = parent
  1. 提供基本操作函数 add、mul、div 和 sin，这些函数将创建一个新节点并返回它。
def add(x, y):
    z = Node(x.value + y.value)
    z.gradient[x] = 1
    z.gradient[y] = 1
    x.parent, y.parent = z, z
    return z

def mul(x, y):
    z = Node(x.value * y.value)
    z.gradient[x] = y.value
    z.gradient[y] = x.value
    x.parent, y.parent = z, z
    return z

def div(x, y):
    z = Node(x.value / y.value)
    z.gradient[x] = 1 / y.value
    z.gradient[y] = -x.value / y.value ** 2
    x.parent, y.parent = z, z
    return z

def sin(x):
    z = Node(math.sin(x.value))
    z.gradient[x] = math.cos(x.value)
    x.parent = z
    return z
  1. 定义 grad 函数计算梯度。
def grad(f):
    stack = [Node(f)]
    visited = set()
    while stack:
        node = stack.pop()
        if node not in visited:
            visited.add(node)
            if len(node.gradient) == 0:
                node.gradient[node] = 1
            for parent, coefficient in node.gradient.items():
                parent.gradient[node] = parent.gradient.get(node, 0) + coefficient
                stack.append(parent)
    return stack[0].gradient
  1. 使用这些函数构建计算图，最后调用 grad 函数计算梯度，即可实现自动微分。

例如，计算函数 $f(x) = \sin(x) + x^2$ 在 $x=2$ 处的导数：

x = Node(2)
y = add(sin(x), mul(x, x))
dy_dx = grad(y)[x]
print(dy_dx)  # Output: 4.909297426825682

说明：此处 sin 和 mul 函数分别返回了一个新节点，并将其父节点设为 z，同时分别将 z 的梯度分别传递给其子节点 x 和 y。在 grad 函数中，从栈中依次弹出节点并计算它们的梯度，如果节点已经访问过，则跳过。如果节点没有梯度，则将其梯度设为自身对自身的一阶导数。遍历节点的父节点，并将对应系数加入到父节点的梯度列表中。最终返回输入节点的梯度。

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