如何使用 Python 堆实现计算几何算法？

Python中有一个内置的heapq模块可以方便地实现堆。计算几何算法中，我们通常需要实现以下几个操作：

1.点的比较

2.计算两点之间的距离

3.计算两点之间的斜率

4.计算点关于某直线的垂足

5.计算两个点和某一点构成的角度

下面我们来看一些代码演示：

1.点的比较

我们可以使用元组来表示点的坐标，例如：(x, y)

比较点的大小时可以先比较x坐标，如果x坐标相等再比较y坐标。

def cmp_point(p1, p2):
if p1[0] < p2[0]:
return -1
elif p1[0] > p2[0]:
return 1
else:
if p1[1] < p2[1]:
return -1
elif p1[1] > p2[1]:
return 1
else:
return 0

2.计算两点之间的距离

我们可以使用勾股定理计算两点之间的距离。

def distance(p1, p2):
return ((p1[0]-p2[0])2 + (p1[1]-p2[1])2)**0.5

3.计算两点之间的斜率

我们可以使用斜率公式计算两点之间的斜率。

def slop(p1, p2):
if p1[0] == p2[0]:
return float("inf")
else:
return (p1[1]-p2[1])/(p1[0]-p2[0])

4.计算点关于某直线的垂足

给定点P(xp, yp)和直线L(y = kx+b)，我们可以通过求解垂线的交点得到点P关于直线L的垂足Q(xq, yq)

def perp_foot(p, k, b):
if k == float("inf"):
return (b, p[1])
else:
xq = (kp[1]+p[0]-kb)/(k*2+1)
yq = kxq+b
return (xq, yq)

5.计算两个点和某一点构成的角度

给定三个点A(xa, ya)，B(xb, yb)，C(xc, yc)，我们可以通过向量公式求解角度∠ABC的余弦值。

def angle_cos(a, b, c):
cos_value = (distance(a,b)2 + distance(b,c)2 - distance(a,c)2) / (2distance(a,b)distance(b,c))
return cos_value

使用堆来实现凸包算法

凸包是计算几何中的一个经典问题，给定平面上的一组点，求出一个最小的凸多边形，能够将这些点包围在内。我们可以使用堆来优化凸包算法的时间复杂度。具体算法流程如下：

1.先按照x坐标排序，保证最左侧的点在第一个位置。

2.将第一个点加入堆中，堆中存储的是点的编号。

3.从第二个点开始向右遍历，如果该点在当前点的左边，则将该点加入堆中，并将当前点编号压入栈中。

4.如果该点在当前点的右边，则弹出堆顶元素直到堆顶元素从当前点的左侧拐到当前点的右侧，并将当前点加入堆中。

5.重复步骤3,4直到遍历完所有点，在栈中的点就是凸包的顶点。

代码演示如下：

import heapq

def get_convex_hull(points):
n = len(points)
points = [(points[i][0], points[i][1], i) for i in range(n)]
points.sort() #按照x坐标排序

heap = [points[0][2]]   #堆中存储的是点的编号
stack = [points[0][2]]   #栈中存储的是凸包顶点的编号

for i in range(1, n):
    #向右遍历，如果该点在当前点的左侧，将该点加入堆中
    if points[i][1] < points[0][1]:
        heapq.heappush(heap, points[i][2])
    else:
        while len(heap) > 1:
            #弹出堆顶元素直到堆顶元素从当前点的左侧拐到当前点的右侧
            if slop(points[heap[0]], points[i]) >= slop(points[heap[1]], points[i]):
                break
            heapq.heappop(heap)
        heapq.heappush(heap, points[i][2])
        stack.append(heap[0])

return [points[i][:2] for i in stack]