Scipy最小化：如何将x限制为0和1？

问题描述

我要使用Scipy.Optimize.Minimize最小化具有多个参数和约束的函数：

def f(x):
    return -1*(0.9*x[0] + 0.8*x[1] + 0.85*x[2])*(0.95*x[3] + 0.8*x[4] + 0.7*x[5])*(0.98*x[6] + 0.94*x[7])

x0 = [0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1]

cons=({'type': 'eq',
   'fun': lambda x: x[0] + x[1] + x[2] - 1},
  {'type': 'eq',
   'fun': lambda x: x[3] + x[4] + x[5] - 1},
  {'type': 'eq',
   'fun': lambda x: x[6] + x[7] - 1},
  {'type': 'ineq',
   'fun': lambda x: -1*(3*x[0] + x[1] + 2*x[2] + 3*x[3] + 2*x[4] + x[5] + 3*x[6] + 2*x[7] - 6)})

如何告诉python x[i]只能是0和1？

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解决方案

理论上您可以添加相等约束：

x[i] * (x[i]-1) = 0

在实践中，这并不能很好地工作，因为这给模型添加了一种令人讨厌的非凸性。看起来你有一个非线性目标、线性约束和二元变量，所以这表明我们需要考虑MINLP(混合整数非线性规划)解算器。这样的求解器很容易获得(例如Bonmin、Couenne、Baron、Antigone)。

然而，我们可以做一些事情。我们可以扩展您的目标，然后写下

maximize 0.9*0.95*0.98*x[0]*x[3]*x[6] + 0.9*0.95*0.94*x[0]*x[3]*x[7] + ...

或

maximize c1*(x[0]*x[3]*x[6]) + c2*(x[0]*x[3]*x[7]) + ...

像x[0]*x[3]*x[6]这样的乘积，其中所有的x[i]都是0-1或二进制变量可以线性化如下：

maximize c1*y1 + c2*y2 + ....
y1 <= x[0]
y1 <= x[3]
y1 <= x[6]
y2 <= x[0]
y2 <= x[3]
y2 <= x[7]
...
y1,y2,... binary variables

如果需要，我们可以使y1,y2,...个变量在0和1之间连续。它们将自动为0或1。更多详细信息请参阅here。

我们现在得到的是线性目标、线性约束和二元变量x[i], y[j]。这可以用现成的MIP(混合整数规划)解算器来解决。非常好的是Cplex和Gurobi，但也有公共领域的CBC和GLPK。它们中的许多都有Python绑定。