C++哈夫曼树的原理是什么及怎么实现

2023-06-12 16:38:40 原理 哈夫曼树

这篇文章主要讲解了“C++哈夫曼树的原理是什么及怎么实现”,文中的讲解内容简单清晰,易于学习与理解,下面请大家跟着小编的思路慢慢深入,一起来研究和学习“C++哈夫曼树的原理是什么及怎么实现”吧!

    1. 前言

    什么是哈夫曼树?

    把权值不同的

    n
    个结点构造成一棵二叉树,如果此树满足以下几个条件:

    • 此 n 个结点为二叉树的叶结点 。

    • 权值较大的结点离根结点较近,权值较小的结点离根结点较远。

    • 该树的带权路径长度是所有可能构建的二叉树中最小的。

    则称符合上述条件的二叉树为最优二叉树,也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。

    构建哈夫曼树的目的是什么?

    用来解决在通信系统中如何使用最少的二进制位编码字符信息。

    2. 设计思路

    哈夫曼树产生的背景:

    在通信系统中传递一串字符串文本时,需要对这一串字符串文本信息进行二进制编码。编码时如何保证所用到的

    bit
    位是最少的,或保证整个编码后的传输长度最短。

    现假设字符串由

    ABCD 4
    个字符组成,最直接的想法是使用 
    2
     个
    bit
    位进行等长编码,如下表格所示:

    字符编码
    A00
    B01
    C10
    D11

    传输

    ABCD
    字符串一次时,所需
    bit
    为 
    2
    位,当通信次数达到 
    n
    次时,则需要的总传输长度为 
    n*2
    。当字符串的传输次数为 
    1000
    次时,所需要传输的总长度为 
    2000
    bit

    使用等长编码时,如果传输的报文中有 

    26
     个不同字符时,因需要对每一个字符进行编码,至少需要 
    5
    bit

    但在实际应用中,各个字符的出现频率或使用次数是不相同的,如

    A、B、C
    的使用频率远远高于
    X、Y、Z
    。使用等长编码特点是无论字符出现的频率差异有多大,每一个字符都得使用相同的
    bit
    位。

    哈夫曼的设计思想

    • 对字符串信息进行编码设计时,让使用频率高的字符使用

      短码
      ,使用频率低的用
      长码
      ,以优化整个信息编码的长度。

    • 基于这种简单、朴素的想法设计出来的编码也称为

      不等长编码

    哈夫曼不等长编码的具体思路如下:

    如现在要发送仅由

    A、B、C、D 4
     个字符组成的报文信息 ,
    A
    字符在信息中占比为 
    50%
    B
    的占比是 
    20%
    C
    的占比是 
    15%
    , 
    D
    的 占比是
    10%

    不等长编码的朴实思想是

    字符
    的占比越大,所用的
    bit
    位就少,占比越小,所用
    bit
    位越多。如下为每一个字符使用的
    bit
    位数:

    • A
      使用 
      1
      bit
      编码。

    • B
      使用 
      2
       位 
      bit
      编码。

    • C
       使用 
      3
       位 
      bit
      编码。

    • D
       使用 
      3
       位 
      bit
       编码。

    具体编码如下表格所示:

    字符占比编码
    A0.50
    B0.210
    C0.15110
    D0.1111

    如此编码后,是否真的比前面的等长编码所使用的总

    bit
    位要少?

    计算结果=

    0.5*1+0.2*2+0.15*3+0.1*3=1.65

    先计算每一个字符在报文信息中的占比乘以字符所使用的

    bit
    位。

    然后对上述每一个字符计算后的结果进行相加。

    显然,编码

    ABCD
    只需要 
    1.65
     个
    bit
     ,比等长编码用到的
    2 个 bit
    位要少 。当传输信息量为 
    1000
    时,总共所需要的
    bit
    位=
    1.65*1000=1650 bit

    哈夫曼编码和哈夫曼树有什么关系?

    因为字符的编码是通过构建一棵自下向上的二叉树推导出来的,如下图所示:

    C++哈夫曼树的原理是什么及怎么实现

    哈夫曼树的特点:

    • 信息结点都是叶子结点。

    • 叶子结点具有权值。如上二叉树,

      A
      结点权值为
      0.5
      B
      结点权值为
      0.2
      C
      结点权值为
      0.15
      D
      结点权值为 
      0.1

    • 哈夫曼编码为不等长前缀编码(即要求一个字符的编码不能是另一个字符编码的前缀)。

    • 从根结点开始,为左右分支分别编号

      0
      1
      ,然后顺序连接从根结点到叶结点所有分支上的编号得到字符的编码。

    相信大家对哈夫曼树有了一个大概了解,至于如何通过构建哈夫曼树,咱们继续再聊。

    3. 构建思路

    在构建哈夫曼树之前,先了解几个相关概念:

    • 路径和路径长度:在一棵树中,从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路,称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为

      1
      ,则从根结点到第
      L
      层结点的路径长度为
      L-1

    • 结点的权及带权路径长度:若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值,则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为:从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。

    • 树的带权路径长度:树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和,记为

      WPL

    如有权值为

    {3,4,9,15}
    的 
    4
     个结点,则可构造出不同的二叉树,其带权路径长度也会不同。如下 
    3
     种二叉树中,
    B
    的树带权路径长度是最小的。

    C++哈夫曼树的原理是什么及怎么实现

    哈夫曼树
    的构建过程就是要保证
    树的带权路径长度
    最小。

    那么,如何构建二叉树,才能保证构建出来的二叉树的带权路径长度最小?

    如有一字符串信息由 ABCDEFGH 8个字符组成,每一个字符的权值分别为

    {3,6,12,9,4,8,21,22}
    ,构建最优哈夫曼树的流程:

    1.以每一个结点为根结点构建一个单根二叉树,二叉树的左右子结点为空,根结点的权值为每个结点的权值。并存储到一个树集合中。

    C++哈夫曼树的原理是什么及怎么实现

    2.从树集合中选择根结点的权值最小的 

    2
     个树。重新构建一棵新二叉树,让刚选择出来的
    2
     棵树的根结点成为这棵新树的左右子结点,新树的根结点的权值为 
    2
     个左右子结点权值的和。构建完成后从树集合中删除原来 
    2
    个结点,并把新二叉树放入树集合中。

    如下图所示。权值为 

    3
    4
    的结点为新二叉树的左右子结点,新树根结点的权值为
    7

    C++哈夫曼树的原理是什么及怎么实现

    3.重复第二步,直到树集合中只有一个根结点为止。

    C++哈夫曼树的原理是什么及怎么实现

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    C++哈夫曼树的原理是什么及怎么实现

    当集合中只存在一个根结点时,停止构建,并且为最后生成树的每一个非叶子结点的左结点分支标注

    0
    ,右结点分支标注
    1
    。如下图所示:

    C++哈夫曼树的原理是什么及怎么实现

    通过上述

    从下向上
    的思想构建出来的二叉树,可以保证权值较小的结点离根结点较远,权值较大的结点离根结点较近。最终二叉树的带权路径长度: 
    WPL=(3+4)*5+6*4+(8+9+12)*3+(21+22)*2=232
     。并且此树的带权路径长度是所有可能构建出来的二叉树中最小的。

    上述的构建思想即为哈夫曼树设计思想,不同权值的字符编码就是结点路径上

    0
    1
    的顺序组合。如下表所述,权值越大,其编码越小,权值越小,其编码越大。其编码长度即从根结点到此叶结点的路径长度。

    字符权值编码
    A311110
    B61110
    C12110
    D9001
    E411111
    F8000
    G2101
    H2210

    4. 编码实现

    4.1 使用优先队列

    可以把权值不同的结点分别存储在优先队列(Priority Queue)中,并且给与权重较低的结点较高的优先级(Priority)。

    具体实现哈夫曼树算法如下:

    1.把

    n
    个结点存储到优先队列中,则
    n
    个节点都有一个优先权
    Pi
    。这里是权值越小,优先权越高。

    2.如果队列内的节点数

    >1
    ,则:

    • 从队列中移除两个最小的结点。

    • 产生一个新节点,此节点为队列中移除节点的父节点,且此节点的权重值为两节点之权值之和,把新结点加入队列中。

    • 重复上述过程,最后留在优先队列里的结点为哈夫曼树的根节点(

      root
      )。

    完整代码:

    #include <iostream>
    #include <queue>
    #include <vector>
    using namespace std;
    //树结点
    struct TreeNode {
    	//结点权值
    	float weight;
    	//左结点
    	TreeNode *lelfChild;
    	//右结点
    	TreeNode *rightChild;
        //初始化
    	TreeNode(float w) {
    		weight=w;
    		lelfChild=NULL;
    		rightChild=NULL;
        }
    };
    //为优先队列提供比较函数
    struct comp {
    	bool operator() (TreeNode * a, TreeNode * b) {
            //由大到小排列
    		return a->weight > b->weight; 
    	}
    };
    
    //哈夫曼树类
    class HfmTree {
    	private:
             //优先队列容器
    		priority_queue<TreeNode *,vector<TreeNode *>,comp> hfmQueue;
    	public:
    		//构造函数,构建单根结点树
    		HfmTree(int weights[8]) {
    			for(int i=0; i<8; i++) {
    				//创建不同权值的单根树
    				TreeNode *tn=new TreeNode(weights[i]);
    				hfmQueue.push(tn);
    			}
    		}
    		//显示队列中的最一个结点
    		TreeNode* showHfmRoot() {
    			TreeNode *tn;
    			while(!hfmQueue.empty()) {
    				tn= hfmQueue.top();
    				hfmQueue.pop();
    			}
    			return tn;
    		}
    		//构建哈夫曼树
    		void create() {
                 //重复直到队列中只有一个结点
    			while(hfmQueue.size()!=1) {
    				//从优先队列中找到权值最小的 2 个单根树
    				TreeNode *minFirst=hfmQueue.top();
    				hfmQueue.pop();
    				TreeNode *minSecond=hfmQueue.top();
    				hfmQueue.pop();
    				//创建新的二叉树
    				TreeNode *newRoot=new TreeNode(minFirst->weight+minSecond->weight);
    				newRoot->lelfChild=minFirst;
    				newRoot->rightChild=minSecond;
    				//新二叉树放入队列中
    				hfmQueue.push(newRoot);
    			}
    		}
    		//按前序遍历哈夫曼树的所有结点
    		void showHfmTree(TreeNode *root) {
    			if(root!=NULL) {
    				cout<<root->weight<<endl;
    				showHfmTree(root->lelfChild);
    				showHfmTree(root->rightChild);
    			}
    		}
    		//析构函数
    		~HfmTree() {
                //省略
    		}
    };
    
    //测试
    int main(int argc, char** argv) {
    	//不同权值的结点
    	int weights[8]= {3,6,12,9,4,8,21,22};
        //调用构造函数
    	HfmTree hfmTree(weights);
        //创建哈夫曼树
    	hfmTree.create();
        //前序方式显示哈夫曼树
    	TreeNode *root= hfmTree.showHfmRoot();
    	hfmTree.showHfmTree(root);
    	return 0;
    }

    显示结果:

    C++哈夫曼树的原理是什么及怎么实现

    上述输出结果,和前文的演示结果是一样的。

    此算法的时间复杂度为

    O(nlogn)
    。因为有
    n
    个结点,所以树总共有
    2n-1
    个节点,使用优先队列每个循环须
    O(log n)

    4.2 使用一维数组

    除了上文的使用优先队列之外,还可以使用一维数组的存储方式实现。

    在哈夫曼树中,叶子结点有 

    n
    个,非叶子结点有 
    n-1
    个,使用数组保存哈夫曼树上所的结点需要 
    2n-1
    个存储空间 。其算法思路和前文使用队列的思路差不多。直接上代码:

    #include <iostream>
    using namespace std;
    //叶结点数量
    const unsigned int n=8;
    //一维数组长度
    const unsigned int m= 2*n -1;
    //树结点
    struct TreeNode {
    	//权值
    	float weight;
    	//父结点
    	int parent;
    	//左结点
    	int leftChild;
    	//右结点
    	int rightChild;
    };
    class HuffmanTree {
    	public:
    		//创建一维数组
    		TreeNode hfmNodes[m+1];
    	public:
    		//构造函数
    		HuffmanTree(int weights[8]);
    		~HuffmanTree( ) {
    
    		}
    		void findMinNode(int k, int &s1, int &s2);
    		void showInfo() {
    			for(int i=0; i<m; i++) {
    				cout<<hfmNodes[i].weight<<endl;
    			}
    		}
    };
    HuffmanTree::HuffmanTree(int weights[8]) {
    	//前2 个权值最小的结点
    	int firstMin;
    	int  secondMin;
    	//初始化数组中的结点
    	for(int i = 1; i <= m; i++) {
    		hfmNodes[i].weight = 0;
    		hfmNodes[i].parent = -1;
    		hfmNodes[i].leftChild = -1;
    		hfmNodes[i].rightChild = -1;
    	}
    	//前 n 个是叶结点
    	for(int i = 1; i <= n; i++)
    		hfmNodes[i].weight=weights[i-1];
    
    	for(int i = n + 1; i <=m; i++) {
    		this->findMinNode(i-1, firstMin, secondMin);
    		hfmNodes[firstMin].parent = i;
    		hfmNodes[secondMin].parent = i;
    		hfmNodes[i].leftChild = firstMin;
    		hfmNodes[i].rightChild = secondMin;
    		hfmNodes[i].weight = hfmNodes[firstMin].weight + hfmNodes[secondMin].weight;
    	}
    }
    void HuffmanTree::findMinNode(int k, int & firstMin, int & secondMin) {
    	hfmNodes[0].weight = 32767;
    	firstMin=secondMin=0;
    	for(int i=1; i<=k; i++) {
    		if(hfmNodes[i].weight!=0 && hfmNodes[i].parent==-1) {
    			if(hfmNodes[i].weight < hfmNodes[firstMin].weight) { 
                      //如果有比第一小还要小的,则原来的第一小变成第二小
    				secondMin = firstMin;
                      //新的第一小
    				firstMin = i;
    			} else if(hfmNodes[i].weight < hfmNodes[secondMin].weight)
    			    //如果仅比第二小的小	
                     secondMin = i;
    		}
    	}
    }
    
    int main() {
    	int weights[8]= {3,6,12,9,4,8,21,22};
    	HuffmanTree huffmanTree(weights);
    	huffmanTree.showInfo();
    	return 1;
    }

    测试结果:

    C++哈夫曼树的原理是什么及怎么实现

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