Logistic回归梯度下降

问题描述

我必须使用批量梯度下降进行Logistic回归。

import numpy as np

X = np.asarray([
[0.50],[0.75],[1.00],[1.25],[1.50],[1.75],[1.75],
[2.00],[2.25],[2.50],[2.75],[3.00],[3.25],[3.50],
[4.00],[4.25],[4.50],[4.75],[5.00],[5.50]])

y = np.asarray([0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,1,1,1,1,1])

m = len(X)

def sigmoid(a):
    return 1.0 / (1 + np.exp(-a))

def gradient_Descent(theta, alpha, X , y):
    for i in range(0,m):
        cost = ((-y) * np.log(sigmoid(X[i]))) - ((1 - y) * np.log(1 - sigmoid(X[i])))
    grad = theta - alpha * (1.0/m) * (np.dot(cost,X[i]))
    theta = theta - alpha * grad
return 

gradient_Descent(0.1,0.005,X,y)   

我必须这样做，但我似乎不明白如何使它工作。

---

解决方案

看起来您在这里搞混了一些东西。在执行此操作时，跟踪向量的形状并确保获得合理的结果是至关重要的。例如，您使用：

计算成本

cost = ((-y) * np.log(sigmoid(X[i]))) - ((1 - y) * np.log(1 - sigmoid(X[i])))

在您的例子中y是具有20个项的向量，而X[i]是单个值。这使得您的成本计算是一个20个项目的矢量，这是没有意义的。你的成本应该是单一价值。(在您的梯度下降函数中，您还无缘无故地多次计算这一成本)。

此外，如果您希望它能够适合您的数据，则需要向X添加偏倚项。那么让我们从这里开始吧。

X = np.asarray([
    [0.50],[0.75],[1.00],[1.25],[1.50],[1.75],[1.75],
    [2.00],[2.25],[2.50],[2.75],[3.00],[3.25],[3.50],
    [4.00],[4.25],[4.50],[4.75],[5.00],[5.50]])

ones = np.ones(X.shape)
X = np.hstack([ones, X])
# X.shape is now (20, 2)

Theta现在每个X需要2个值。因此初始化该值和Y：

Y = np.array([0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,1,1,1,1,1]).reshape([-1, 1])
# reshape Y so it's column vector so matrix multiplication is easier
Theta = np.array([[0], [0]])

你的乙状结肠功能很好。让我们也做一个向量化的成本函数：

def sigmoid(a):
    return 1.0 / (1 + np.exp(-a))

def cost(x, y, theta):
    m = x.shape[0]
    h = sigmoid(np.matmul(x, theta))
    cost = (np.matmul(-y.T, np.log(h)) - np.matmul((1 -y.T), np.log(1 - h)))/m
    return cost

成本函数之所以有效，是因为Theta的形状为(2，1)，X的形状为(20，2)，因此matmul(X, Theta)将为(20，1)形状。然后矩阵乘以Y的转置(y.T形状是(1，20))，得到单个值，我们的成本给定了特定值Theta。

然后我们可以编写一个函数来执行批处理梯度下降的单个步骤：

def gradient_Descent(theta, alpha, x , y):
    m = x.shape[0]
    h = sigmoid(np.matmul(x, theta))
    grad = np.matmul(X.T, (h - y)) / m;
    theta = theta - alpha * grad
    return theta

请注意，np.matmul(X.T, (h - y))将形状(2，20)和(20，1)相乘，得到的形状为(2，1)-与Theta的形状相同，这是您希望从渐变中获得的形状。这让你可以用你的学习速度乘以IS，然后从初始的Theta中减去它，这就是梯度下降应该做的事情。

所以现在您只需编写一个循环进行多次迭代，并更新Theta，直到它看起来收敛：

n_iterations = 500
learning_rate = 0.5

for i in range(n_iterations):
    Theta = gradient_Descent(Theta, learning_rate, X, Y)
    if i % 50 == 0:
        print(cost(X, Y, Theta))

这将每50次打印一次成本，导致成本稳步下降，这正是您所希望的：

[[ 0.6410409]]
[[ 0.44766253]]
[[ 0.41593581]]
[[ 0.40697167]]
[[ 0.40377785]]
[[ 0.4024982]]
[[ 0.40195]]
[[ 0.40170533]]
[[ 0.40159325]]
[[ 0.40154101]]

您可以尝试Theta的不同初始值，您将看到它总是收敛到同一个项。

现在您可以使用新找到的Theta值进行预测：

h = sigmoid(np.matmul(X, Theta))
print((h > .5).astype(int) )

这将打印您对数据的线性拟合所期望的结果：

[[0]
 [0]
 [0]
 [0]
 [0]
 [0]
 [0]
 [0]
 [0]
 [0]
 [1]
 [1]
 [1]
 [1]
 [1]
 [1]
 [1]
 [1]
 [1]
 [1]]