NumPy：为什么np.linalg.eig和np.linalg.svd给出不同的SVD V值？

问题描述

我正在按照MIT course学习SVD。

矩阵构造为

C = np.matrix([[5,5],[-1,7]])
C
matrix([[ 5,  5],
        [-1,  7]])

讲师将V表示为

这接近

w, v = np.linalg.eig(C.T*C)
matrix([[-0.9486833 , -0.31622777],
        [ 0.31622777, -0.9486833 ]])

但np.linalg.svd(C)提供不同的输出

u, s, vh = np.linalg.svd(C)
vh
matrix([[ 0.31622777,  0.9486833 ],
        [ 0.9486833 , -0.31622777]])

VH似乎交换了V向量中的元素，可以接受吗？

我这样做和理解正确了吗？

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解决方案

linalg.eig您的特征值存储在w中。这些是：

>>> w
array([20., 80.])

对于您的奇异值分解，您可以通过对您的奇异值进行平方得到您的特征值(C是可逆的，因此在这里一切都很容易)：

>>> s**2
array([80., 20.])

如您所见，他们的顺序颠倒了。

来自linalg.eig文档：

特征值不一定是有序的

来自linalg.svd文档：

包含奇异值的向量，每个向量内按降序排序。...

通常，给出特征值和特征向量的例程并不一定按照您希望的方式对它们进行"排序"。因此，确保你有你想要的特征值的特征向量总是很重要的。如果您需要对它们进行排序(例如，按本征值大小)，您始终可以自己执行此操作(请参阅此处：sort eigenvalues and associated eigenvectors after using numpy.linalg.eig in python)。

最后请注意，vh中的行包含特征向量，而v中的列。

所以这意味着，例如：

>>> v[:,0].flatten()
matrix([[-0.9486833 ,  0.31622777]])
>>> vh[1].flatten()
matrix([[ 0.9486833 , -0.31622777]])

给出两个特征值的特征向量20。