渐近数组上的求和

问题描述

我想用i和j这两个指数对Array(称为arr)求和。对arr[i]求和得到一个整数，如In [4]所示。但是，对arr[j]求和不会得到一个数字(请参见下面的In [5])。为什么会这样？

In [1]: from sympy import *

In [2]: i, j = symbols("i j", integer=True)

In [3]: arr = Array([1, 2])

In [4]: summation(
   ...:     arr[i],
   ...:     (j, 0, i), (i, 0, len(arr)-1)
   ...: )
Out[4]: 5

In [5]: summation(
   ...:     arr[j],
   ...:     (j, 0, i), (i, 0, len(arr)-1)
   ...: )
Out[5]: Sum([1, 2][j], (j, 0, i), (i, 0, 1))

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解决方案

如果出现以下情况，symPy将计算总和

1. 求和数和的限制都是明确的；或者
2. 它可以根据求和的公式找到求和的符号表达式。

嵌套求和是从左到右执行的。在第一版中，

summation(arr[i], (j, 0, i))

属于第2项：由于被和数不依赖于索引j，因此求和的值象征性地等于(i + 1)*arr[i]。则外和变为

summation((i + 1)*arr[i], (i, 0, len(arr)-1))

这属于第1项：求和和限制都是显式的。

但在第二个版本中

summation(arr[j], (j, 0, i))

既不适合1也不适合2。被加数依赖于j，我们没有关于它的任何公式(它只是一些数字[1，2])，和和求和的上限是象征性的。SymPy与这样的金额没有任何关系，因此它仍未完成。因此，由于未完成内部求和，因此外和不会到达任何位置。

解决方法

在第二种情况下，用Python sum替换外和会显式计算内和，因此会对其求值。

>>> sum([summation(arr[j], (j, 0, i)) for i in range(len(arr))])
4

当然，这并不真正使用SymPy的符号功能：内部和也可以是Python的sum。