用Numpy.fft实现傅里叶空间的数值积分

问题描述

我想用傅里叶空间中的数值积分对函数进行积分。

以下代码显示了一个工作示例：

import numpy as np
from pylab import *
from numpy.fft import fft, ifft, fftshift, ifftshift

N = 2**16
x = np.linspace(- np.pi , np.pi,N)
y = np.exp(-x**2)                          # function f(x)
ys = np.exp(-x**2) * (-2*x)                # derivative f'(x)
T = x[-1] - x[0] # the whole range
w = (np.arange(N) - N /2.) / T + 0.00000001 # slightly shifted
# integration
fourier =  ifft(ifftshift(1./ ( 2 * np.pi * 1j * w) * fftshift(fft(ys)) )  ) 
# differentiation 
fourier2 =  ifft(ifftshift(( 2 * np.pi * 1j * w) * fftshift(fft(fourier)) )  ) 

您可能注意到频率定义中的+ 0.00000001w。我需要它，因为否则我将生成ZeroDivisionError或麻木警告。这是一种变通方法，对于上面的例子似乎还可以，但对于我遇到的一个更复杂的问题，它却失败了。一位同事告诉我，如果我得到移频值的FFT(np.arange(N) - N /2. + 1./2) / T，我就可以简单地避免它。如何在麻木中做到这一点？有没有办法指定NumPy FFT的输出网格？

谢谢！

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解决方案

问题是w包含0(这是应该的)，并且除以w。w中的0是"DC"频率；它对应于傅里叶级数的常量项。

如果对具有系数为A0的非零DC分量的函数进行积分，则得到的函数包括A0*t形式的项，该项不在该傅立叶技术所适用的周期函数空间中。因此，您必须假设输入的DC分量为0。在本例中，当除以w时，将得到(0+0j)/0，即(nan+nanj)。如果输入的DC分量不为零，则会得到(inf+nanj)。无论采用哪种方法，解决方案都是忽略您得到的任何内容，并在使用ifft进行反转之前将DC傅立叶系数设置为0。

有几种方法可以实现这一点。一种方法是更改以下行：

w = (np.arange(N) - N /2.) / T + 0.00000001 # slightly shifted
# integration
fourier =  ifft(ifftshift(1./ ( 2 * np.pi * 1j * w) * fftshift(fft(ys)) )  ) 

到这里(我添加了几个中间变量)：

w = (np.arange(N) - N /2.) / T

# integration
Fys = fft(ys)
with np.errstate(divide="ignore", invalid="ignore"):
    modFys = ifftshift(1./ (2 * np.pi * 1j * w) * fftshift(Fys))

# modFys[0] will hold the result of dividing the DC component of y by 0, so it
# will be nan or inf.  Setting modFys[0] to 0 amounts to choosing a specific
# constant of integration.
modFys[0] = 0

fourier = ifft(modFys).real

我也接受了ifft结果的真实部分。理论上，虚部应该都是0；实际上，由于正常的不精确浮点运算，虚部会很小，但不是零。

顺便说一句，如果您不想实现此技术的您自己的版本，可以使用scipy.fftpack.diff。