简单LLT返回错误的Cholesky因子

我想使用Eigen计算稀疏矩阵的Cholesky分解。然而，结果是不正确的，我找不到原因。如何获得正确答案？

在Eigen中是否实现了特殊的例程来利用稀疏矩阵的结构来提高性能(例如，对于下例中的带状矩阵或三角矩阵)？

#include <iostream>
#include <Eigen/Sparse>
#include <Eigen/Dense>

int main() 
{

    // create sparse Matrix
    int n = 5; 
    std::vector<Eigen::Triplet<double> > ijv; 
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        ijv.push_back(Eigen::Triplet<double>(i,i,1));
        if(i < n-1)
        {
            ijv.push_back(Eigen::Triplet<double>(i+1,i,-0.9));
        }
    }
    Eigen::SparseMatrix<double> X(n,n);
    X.setFromTriplets(ijv.begin(), ijv.end());
    Eigen::SparseMatrix<double> XX = X * X.transpose();

    // Cholesky decomposition 
    Eigen::SimplicialLLT <Eigen::SparseMatrix<double> > cholesky;
    cholesky.analyzePattern(XX);
    cholesky.factorize(XX);

    std::cout << Eigen::MatrixXd(XX) << std::endl;
    std::cout << Eigen::MatrixXd(cholesky.matrixL()) << std::endl;

}

矩阵如下：

输入XX：

   1 -0.9    0    0    0
-0.9 1.81 -0.9    0    0
   0 -0.9 1.81 -0.9    0
   0    0 -0.9 1.81 -0.9
   0    0    0 -0.9 1.81

输出(cholesky.matrixL())：

  1.34536         0         0         0         0
-0.668965   1.16726         0         0         0
        0 -0.771039    1.1025         0         0
        0         0         0         1         0
        0         0 -0.816329      -0.9  0.577587

应该是什么样子(X)：

   1    0    0    0   0
-0.9    1    0    0   0
   0 -0.9    1    0   0
   0    0 -0.9    1   0
   0    0    0 -0.9   1

---

解决方案

不要忘记SimplicialLLT没有分解A = L * L^T，但是P * A * P^T = L * T^T使用P置换矩阵。如果您需要P作为标识，则使用NaturalOrdering：

Eigen::SimplicialLLT<Eigen::SparseMatrix<double>, Eigen::Lower, Eigen::NaturalOrdering<int> > cholesky;