Python选择将整数除法舍入到负无穷大背后的数学原因是什么？

我知道Python//舍入到负无穷大，而在C++中/正在截断，舍入到0。

到目前为止我知道的是：

               |remainder|
-12 / 10  = -1,   - 2      // C++
-12 // 10 = -2,   + 8      # Python

12 / -10  = -1,     2      // C++
12 // -10 = -2,   - 8      # Python

12 / 10  = 1,      2       // Both
12 // 10 = 1,      2

-12 / -10 = 1,    - 2      // Both
          = 2,    + 8

C++:
1. m%(-n) == m%n
2. -m%n == -(m%n)
3. (m/n)*n + m%n == m

Python:
1. m%(-n) == -8 == -(-m%n)
2. (m//n)*n + m%n == m

但是，为什么Python//选择向负无穷大取整？我没有找到任何资源来解释这一点，只是找到并听到人们含糊地说：&；因为数学原因。

例如Why is -1/2 evaluated to 0 in C++, but -1 in Python?：

抽象地处理这些事情的人往往会觉得 舍入到负无穷大更有意义(这意味着 与数学中定义的模函数兼容，而不是 意思有点滑稽)。

但我认为C++的/与模函数不兼容。在C++中，(m/n)*n + m%n == m也适用。

那么，是什么(数学)原因让Python选择舍入到负无穷大呢？

---

另请参阅Guido van Rossum's old blog post on the topic。

---

解决方案

但为什么Python//选择舍入为负无穷大？

我不确定最初做出这个选择的原因是否有任何记录(尽管，就我所知，它可以在某个PEP中得到很长的解释)，但我们肯定可以想出各种理由来解释它的意义。

一个原因很简单，就是舍入为负(或正！)无穷大意味着所有数字都以相同的方式进行舍入，而向零进行舍入则使零变得特别。这样说的数学方式是，向下舍入到?∞是平移不变量，即它满足等式：

round_down(x + k) == round_down(x) + k

对于所有实数x和所有整数k。向零四舍五入不会，因为，例如：

round_to_zero(0.5 - 1) != round_to_zero(0.5) - 1

当然，也存在其他参数，例如您引用的基于与%运算符(行为的方式)的兼容性的参数-下面将详细介绍。

事实上，我想说真正的问题是，为什么要定义的int()函数而不是，将浮点参数舍入到负无穷大，以便m // n等于int(m / n)。(我怀疑是因为历史原因。)话又说回来，这不是什么大不了的事，因为至少有math.floor()满足m // n == math.floor(m / n)。

---

但我认为C++的/与模函数不兼容。在C++中，(m/n)*n + m%n == m也适用。

是正确的，但在将/四舍五入到零的同时保留该身份需要以一种尴尬的方式为负数定义%。特别是，我们失去了以下两个有用的Python%数学属性：

1. 0 <= m % n < n全部m和全部正面n；和
2. (m + k * n) % n == m % n适用于所有整数m、n和k。

这些属性非常有用，因为%的主要用法之一是将数字m换行到有限的长度范围。

---

例如，假设我们正在尝试计算方向：假设heading是我们当前的compass heading度(从正北开始顺时针计算，其中0 <= heading < 360)，并且我们想要在旋转angle度后计算新的航向(其中angle > 0如果我们顺时针转，angle < 0如果我们逆时针转)。使用Python的%运算符，我们可以简单地将新标题计算为：

heading = (heading + angle) % 360

这在所有情况下都适用。

然而，如果我们尝试在C++中使用这个公式，它具有不同的舍入规则和相应的不同的%运算符，我们会发现回绕并不总是像预期的那样工作！例如，如果我们开始朝向西北(heading = 315)，然后顺时针旋转90°(angle = 90)，我们最终确实会朝向东北(heading = 45)。但如果然后尝试逆时针旋转90°(angle = -90)，使用C++的%运算符，我们将不会像预期的那样返回到heading = 315，而是返回到heading = -45！

要使用C++%运算符获得正确的回绕行为，我们需要将公式写成如下所示：

heading = (heading + angle) % 360;
if (heading < 0) heading += 360;

或AS：

heading = ((heading + angle) % 360) + 360) % 360;

(更简单的公式heading = (heading + angle + 360) % 360只有在我们始终保证heading + angle >= -360的情况下才有效。)

这是您为拥有非平移不变的除法舍入规则以及相应的非平移不变的%运算符而付出的代价。