原创 | codeforces 1417C,逆向思考的数据结构题

2020-10-12 00:00:00 算法 元素 的是 数组 给定

大家好,欢迎阅读周末算法题专题。

今天我们选择的是codeforces contest 1417的C题k-Amazing Numbers。这是一道经典的数据结构题,全场通过4700+,比以往的C题要稍稍难一些。有一些trick,解法不算很难,但是不太容易想到。

题目链接:https://codeforces.com/contest/1417/problem/C

我们废话不多说了,直接来看题。

题意

给定n个数构成的数字,我们定义一个k-amazing数的概念。如果数a同时出现在数组中所有k个连续元素构成的序列当中,并且a是其中小的那个,那么就称为a是一个k-amazing数字。

我们抽象一下,其实有两个条件,个条件是同时出现。我们假设数组是[1, 2, 3, 4, 5],当k=3时,我们可以找到的序列是[1, 2, 3], [2, 3, 3], [3, 4, 5]。这三个序列当中的共有元素是3,并且只有3,所以3就是一个k-amazing数。第二个条件是小,如果这样的数字可以找到多个,只有小的那个数字才是k-amazing数。

现在给定数组a,要求所有的1-n的k-amazing数。

样例

首先输入一个整数t,表示测试数据组数()。

对于每组数据一共有三行输入,行输入为一个整数n()。

第二行输入n个整数

要求输出一行整数,表示k=1到k=n时的所有k-amazing数,如果不存在则输出-1。

题解

这道题的题意倒是挺明确的,没什么含糊不清的情况。但是我们分析一下会发现,想要顺着题意去解决是不可能的。因为我们没有什么特别好的方法可以快速寻找多个集合当中的交集,并且查询到交集之后还需要分析交集当中的小值。

也尝试过引入线段树或者是树状数组等数据结构,依然一无所获。后能够解出来其实挺取巧的,是因为注意到了一个细节,这个细节就是元素的范围,题目当中给定的是。这和我们以往的题目都不太一样,一般来说都会给定一个具体的值作为范围,而不是给定一个变量。

如果有过一定算法题基础和经验的同学,注意到这个应该能想到桶排序或者是基数排序。如果我们保证所有的元素都小于数组的长度,那么我们可以用一种很取巧的方式来完成排序。

我们直接来看代码:

a = [43251]
ret = []
base = [ for _ in range(6)]

for i in a:
    base[i] +1
    
    
for i in range(6):
    if base[i] > :
        for j in range(base[i]):
            ret.append(i)

这个算法的复杂度是,要比一般的排序算法更快,因为我们利用了下标的天然有序性。顺着这条线我想到了问题的关键,发现我们一开始的思路其实走入了误区。

思维误区与提示

这道题大的trick就是我们对于算法的初印象,我一直在想一种方法可以快速地根据k求出k-amazing数。然后我发现情况非常复杂,并且涉及到集合的处理,比较麻烦。

这道题需要我们反其道而行之,并不是根据k去寻找k-amazing数,而是根据一个数在数组当中出现的分布,来判断它可以构成什么k-amazing。这也是为什么所有出现的数要小于n的原因,并不是说一定要小于n才有解,而是为了给我们一个思维提示。

我简单来解释一下这其中的原理,大家立刻就明白了,其实非常非常简单,有点像是魔术师用很简单的障眼法欺骗了我们的感觉。

我们假设上面这条线是题目给定的数组,我们假设其中某一个数m出现了3次,分别是a1, a2和a3。那么请问,如果m是一个k-amazing数,这个k应该至少是多大?

很简单,应该是我们肉眼观察一下应该是a2-a1,那么我们画出来应该是这样的:

其实就是简单的区间覆盖问题,如果k小于这个值,那么a1到a2中间的部分一定无法满足。你可能还是会觉得有问题,不对啊,我们要找的是小值,你怎么能知道这个m是不是小的呢?

这个问题也非常简单,我们只需要按照顺序从小到大去寻找k,那么个找到的一定就是答案。想明白了之后有没有醍醐灌顶,有没有豁然开朗的感觉?是不是还有我居然想到了,又有一点觉得自己早就应该想到了的矛盾感?这也是做算法题的乐趣所在,所谓的难者不会,会者不难,体现得淋漓尽致。

不过还有一个小trick,有可能对于有些k我们找不到答案,但是它并不一定不存在。这也很好理解,我们假设找到了k=3时的答案是m,我们没有直接找到间隔是4的数,那么问题来了,m满不满足k=4呢?当然是满足的,因为小的间隔都能成立,大的间隔一定也可以。

后,贴上代码:

from collections import defaultdict

t = int(input())

for in range(t):
    n = int(input())
    arr = list(map(int, input().split(' ')))
    # 我们要记录元素的出现位置,会有多个,所以要用map[int]list的结构
    dt = defaultdict(list)

    for i, v in enumerate(arr):
        dt[v].append(i)

    ret = [-1 for _ in range(n+2)]

    for i in range(1, n+1):
        if i not in dt:
            continue

        # 由于下标是0开始的,所以段区间长度是下标+1
        tmp = dt[i][] + 1
        # 寻找元素i出现的大间隔
        for idx in range(1, len(dt[i])):
            tmp = max(tmp, dt[i][idx] - dt[i][idx-1])

        tmp = max(tmp, n - dt[i][-1])
        # 如果这个长度的答案没有出现过,就赋值
        if ret[tmp] == -1:
            ret[tmp] = i

    # 如果m是k-amazing数,那么它也是k+1-amazing数
    for i in range(2, n+1):
        if ret[i-1] == -1:
            continue
        if ret[i] == -1 or ret[i] > ret[i-1]:
            ret[i] = ret[i-1]
            
    print(' '.join(map(str, ret[1: n+1])))

这题非常有趣,强烈建议大家都试着做一下。

今天的文章就到这里,衷心祝愿大家每天都有所收获。如果还喜欢今天的内容的话,请来一个三连支持吧~(点赞、在看、转发

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