如何快速求出与n互素的数有多少个?

2022-09-07 00:00:00 函数 算法 交易 是一个 系统

小K



1
故事起源
一个数n,在小于等于n的正整数[1,n]中,与n互素的数有多少个呢?
(注:x与n互素,说明x与n的大公约数为1)



02
分析
直观的方法当然就是直接枚举所有小于n的数,再通过求大公约数判断即可。
但当n很大的时候,这个方法就不优了。可能有同学已经发现了,这个不就是欧拉函数的定义吗,所以今天我们从数学上来分析如何快速求解。


03
欧拉函数
欧拉函数定义如下:


欧拉函数具有几个的性质,先介绍几个常用的数学符号,便于描述。


3.1
性质1

当n为素数时,很明显phi(n)=n-1,因为所有小于n的数都与n互素。


当n为某个素数p的幂次时,即n=p^k,则与n不互素的一定为p的倍数。

[1,n]中p的倍数一共有p^(k-1)个,所以互素的即为总数减去不互素的个数。


3.2
性质2

欧拉函数是一个积性函数,当整数m,n互素时,phi(mn)=phi(m)*phi(n)。


这个性质的证明需要用到同余和集合相关的定理,有点复杂,以后写同余相关的知识再专门分享如何证明,现在就先记住这个性质就行了。


04
计算
有了这2个性质就可以推导出欧拉乘积公式。


接下来就只需要考虑如何对n进行质因素分解。

简单的方式可以直接枚举,先找到小的质因子p1,然后除去所有p1因子,再对剩余的数继续分解。



05
代码实现
int euler_phi(int n) {
    int m = sqrt(n + 0.5);
    int ans = n;
    for (int i = 2; i <= m; ++i) {
        if (n == 1break;
        if (n % i == ) {
            ans = ans / i * (i - 1);
            while (n % i == ) n /= i;
        }
    }
    if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
    return ans;
}


06
总结
现在的算法复杂度主要取决于寻找个质因子,枚举并不是快的方法,更快的方法是基于费马小定理,miller_rabin,pollard_rho等原理的随机化算法。

数论是一个大类,在很多地方都有重要的应用,而素数在密码学中应用也很广泛,今天分享的算是数论入门的一个介绍,后面还会分享更多有关数论的知识。


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