JUST技术：如何通过轨迹相似性度量方法，发现新冠易感人群

2020年初，一场突如其来的新冠疫情，使得公共卫生安全问题受到了全社会的广泛关注。与此同时，如何及时掌握人与人之间的病毒传播路径，及时发现确诊人员的密切接触者，成为了各地政府疫情防控迫切的需求。

JUST基于大规模轨迹数据，针对易感人群难以发现的问题，开发并提供了关联人群查询功能，通过对轨迹进行匹配挖掘，能够快速找出与确诊人员行动轨迹在时空维度有过“接触”的人群。其中，实现该功能的很重要的一项工作就是：如何衡量两条轨迹的相似性。下文将简要介绍一些常见的轨迹相似性度量方法。

轨迹作为一种时空数据[1]，指的是某物体在空间中的移动路径，通常表示为GPS点的序列，例如tr=<p1→p2→…pn>，其中点pi=(lat,lng,t)，表示该物体在t时刻位于地理坐标位置(lat,lng)上，lat和lng分别表示纬度和经度。

图1：离散的GPS点序列组成轨迹

大数据时代，随着车载导航系统的普及，海量的轨迹数据正在源源不断的产生，这些轨迹中蕴含着巨大的价值[2]，例如可以进行交通流量分析和预测，为政府的城市规划提供建议；也可以进行轨迹聚类，发现那些被很多轨迹经过的道路，用于指导自行车道的规划；还可以进行驻留点检测，发现轨迹经常停留的区域等。

图2：海量的轨迹数据（北京出租车轨迹）及其应用

轨迹数据的分析处理非常具有挑战性，主要包含三个方面：1）轨迹数据量大；2）轨迹数据噪音多；3）轨迹数据获取途径多样。其中，轨迹相似性作为一项基础算法服务，衡量两条轨迹之间的距离大小，可为其上层应用提供支持，也是目前研究的热点之一。

图3：轨迹相似性查询示意图

相对于点与点或点与轨迹之间的距离度量，轨迹之间的距离度量更加的复杂，需要考虑的因素也更多，例如轨迹的采样率、考虑轨迹的时间信息和轨迹自身的噪音等。常见的轨迹相似性度量方法大致分类如下图所示。

图4：轨迹相似性方法分类

我们定义如下两条轨迹，长度分别为n和m，则：

• 欧式距离（Euclidean Distance）

欧式距离要求两条轨迹的长度相同一一对应，其数学定义为：

欧氏距离的定义简单明了，就是两条轨迹对应点的空间距离的平均值，但是缺点也很明显，就是不能度量不同长度的轨迹相似性，且对噪音点敏感。

图5：欧式距离示意图（黑点与红点一一对应）

• 动态时间归整（Dynamic Time Warping，DTW）

如上所述，欧式距离的一个明显的限制是要求两条轨迹长度相等，这在实际情况中是不太可能的，更理想的情况应该在轨迹长度上具有一定的灵活性。

动态时间归整DTW[3]的思想是自动扭曲两个序列，并在时间轴上进行局部的缩放对齐，以使其形态尽可能一致，从而得到大可能的相似性。DTW将两条轨迹的点进行多对多的映射，从而较为高效地解决了数据不齐的问题，其动态规划算法如下：

其中Head(tr)=<p1>表示该轨迹的个点；Rest(tr)=<p2…pn>表示除个点之外的所有点组成的子序列。

图6：DTW示意图（黑点与红点进行多对多映射）

动态时间归整算法灵活，对轨迹长度无限制，且效果较好，但是其并未对噪音点进行处理，离群点也会对结果造成较大影响。

• 长公共字串（Longest Common Sub-Sequence，LCSS）

有一个经典的算法问题：求解两序列的长公共子序列，不要求公共子序列中的两个连续相连，例如BDCABA和ABCBDAB的大公共子序列为BCBA。在此基础上，很自然提出了基于长公共子序列的轨迹相似性度量方法，即LCSS，其值代表多可被是为同一点的点数，也就是两条轨迹中满足小距离阈值限制的轨迹点的对数。其基于动态规划的算法如下：

其中，参数是小距离阈值，两点之间距离小于该值时将被认为是同一点，此外，该算法对轨迹长度没有限制。

图7：LCSS示意图，有两对点的距离小于，则被视为同一点，LCSS值为2

长公共子串距离对噪音点进行了处理，即因噪音点的偏离没有与其相近的轨迹点故不会被计算在终结果内，这一步骤有效对抗噪音。但与此同时，该算法的小距离阈值不好定义，还有可能返回并不相似的轨迹。

• 编辑距离（Edit Distance on Real sequence，EDR）

给定两个长度分别为n和m的轨迹tr1和tr2，小距离的匹配阈值，则两条轨迹之间的EDR距离[4]就是需要对tr1及逆行插入、删除或替换使其变为tr2的操作次数，其基于动态规划的算法如下。

其中，

图8：EDR示意图，在p1处“插入”一点、将p2'“替换”为p3和在p5处“插入”一点，共计3个操作使两条轨迹相等（即对应点距离均小于阈值），故其EDR值为3

轨迹的编辑距离为轨迹相似新度量提供了一种新的思路，其缺陷也很明显，就是对噪音点敏感。

• 豪斯多夫距离（Hausdorff Distance）

简单来说，豪斯多夫距离[5]就是两条轨迹近点距离的大值。

其中，h(tr1,tr2)称为tr1到tr2的单向豪斯多夫距离，其定义如下：

图9：豪斯多夫距离示意图，每个红点都有一个近的黑点，豪斯多夫距离就是其中的大值

• 弗雷歇距离（Fréchet Distance）

直观的理解，弗雷歇距离[6]就是狗绳距离，即主人走路径A，狗走路径B，各自走完两条路径过程中所需要的短狗绳长度。

图10：狗绳距离示意图，虚线表示主人和狗在同一时刻所处位置的对应，弗雷歇距离即为长度长的虚线

弗雷歇距离基于动态规划思想的算法如下：

其中，d(p,q)是两个GPS点的欧式距离，tr(n-1)=<p1→p2→…pn-1> 是轨迹tr的长度为n-1的子轨迹。

弗雷歇距离为我们提供了一种简单直观的度量相似性的方式，也能达到较好的效果；但可惜的是其并没有对噪音点进行处理，例如若狗的某个轨迹点因为噪声偏离得很远，那么弗雷歇距离也随之增大，这显然是不合理的。

• 单向距离（One Way Distance，OWD）

单向距离OWD[7]的定义如下：

其中，|tr1|表示轨迹tr1的长度，d(p,tr2)表示GPS点p到tr2的距离。为了对称，简单修改上述公式：

图11：单向距离示意图，该距离即为各多边形的面积之和与折线长度的比值

OWD距离的基本思想基于两条轨迹围成的面积，当面积大，说明轨迹之间距离较远，相似度就低；相反，若围成的面积为0，则说明两条轨迹重合，相似度高。

• 多线位置距离（Locality In-between Polylines，LIP）

多线位置距离LIP[8]定义如下：

其中，Ii表示两条轨迹的第i个交点，权重wi定义如下：

图12：LIP方法示意图，该距离为每个区域面积与其权重乘积之和

LIP方法很好理解，当某区域面积的周长占总长比重大时权重也自然就大；当Area均为0时，说明两条轨迹重合没有缝隙，LIP距离为0；当Area加权和大时，则说明两条轨迹之间缝隙较大，LIP距离也就大。此外，权重由区域周长占总长比重大决定，也一定程度对抗了噪音点的干扰。

目前，京东城市自研的时空数据引擎JUST（JD Urban Spatio-Temporal Data Engine）已经实现了动态时间规整、豪斯多夫距离和弗雷歇距离等多种轨迹相似性计算方法，用户无需编码，仅需一条SQL就可以实现，同时JUST还提供了轨迹的可视化功能方便用户观察，欢迎访问https://just.urban-computing.cn/进行体验，合作请发邮件至just@jd.com。

图13：JUST产品主页

图14：JUST产品门户

参考文献：

[1] Zheng, Y., et al. Urban Computing: concepts, methodologies, and applications. ACM TIST.

[2] Yu Zheng. Trajectory Data Mining: An Overview. ACM Transactions on Intelligent Systems and Technology. 2015, vol. 6, issue 3.

[3] Yi B K, Jagadish H V, Faloutsos C. Efficient retrieval of similar time sequences under time warping[C]//Proceedings 14th International Conference on Data Engineering. IEEE, 1998: 201-208.

[4] Chen L, Özsu M T, Oria V. Robust and fast similarity search for moving object trajectories[C]//Proceedings of the 2005 ACM SIGMOD international conference on Management of data. 2005: 491-502.

[5] Alt H. The computational geometry of comparing shapes[M]//Efficient Algorithms. Springer, Berlin, Heidelberg, 2009: 235-248.

[6] Eiter T, Mannila H. Computing discrete Fréchet distance[R]. Technical Report CD-TR 94/64, Christian Doppler Laboratory for Expert Systems, TU Vienna, Austria, 1994.

[7] OWD论文：Lin B, Su J. One way distance: For shape based similarity search of moving object trajectories[J]. GeoInformatica, 2008, 12(2): 117-142.

[8] LIP论文：Pelekis N, Kopanakis I, Marketos G, et al. Similarity search in trajectory databases[C]//14th International Symposium on Temporal Representation and Reasoning (TIME'07). IEEE, 2007: 129-140.