用R语言解读凯利公式
张丹，R语言中文社区专栏特邀作者，《R的极客理想》系列图书作者，民生银行大数据中心数据分析师，前况客创始人兼CTO。
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前言
职业做投机交易的人，应该都听说过凯利公式，这是一个通过计算胜率和赔率，来选择佳投注比例的公式，目的是长期获得高的盈利。
只要找到长期看必胜的局，接下来就是让时间帮我们赚钱了。
目录
- 开始赌局
- 凯利公式
- 赌局的优解
- 让时间帮我们赚钱
1. 开始赌局
设游戏赌局，你赢的概率是80%，输的概率是20%，赢时的净收益率是，输时的亏损率也是。如果赢，你每赌1元可以赢得1元；如果输，则每赌1元将会输掉1元。赌局可以进行无限次，每次下的赌注可由你自己任意定。如果你的初始资金是100元，那么怎么样下注，才能使得长期收益大？
对于胜率80%，从感觉上应该是很有把握的事情了。那么我们先主观判断一次，用90%的仓位去赌一下，看看结果怎么呢？如果下注10次，按80%胜率，8次胜，2次负。我们来算一下后的结果。# 设置胜负，1胜，0负 > win<-c(1,1,1,0,1,1,0,1,1,1) # 分别按投注计算每回合的剩余资金 > a1<-(1+0.9)*100 > a2<-a1*(1+0.9) > a3<-a2*(1+0.9) > a4<-a3*0.1 > a5<-a4*(1+0.9) > a6<-a5*(1+0.9) > a7<-a6*0.1 > a8<-a7*(1+0.9) > a9<-a8*(1+0.9) > a10<-a9*(1+0.9) > dat<-c(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10) > df<-data.frame(win,dat) # 打印剩余资金列表 > df win dat 1 1 190.0000 2 1 361.0000 3 1 685.9000 4 0 68.5900 5 1 130.3210 6 1 247.6099 7 0 24.7610 8 1 47.0459 9 1 89.3872 10 1 169.8356
10次交易后，赢了8次，只输了2次，我们从100元本金，上升到了169元，收益率为69%，还是不错的。高的时候，资金为685元，收益率为685%，赚了6倍多。低则是只剩下24元，真是赔的好惨啊！
接下来，画出资金曲线。这是一个过山车式的曲线，赚钱的时候非常猛，一旦赌输了，就产生了巨大的亏损。# 画出资金曲线 > plot(df$dat,type='l')
曲线很陡峭，波动很大，回撤也很大，完全就是在赌博。
怎么样才能让资金曲线好看一些呢？如果每次下注用少一点资金，是不是会更好呢？那么我继续试一下。分别计算每次下注资金为 60%，40%，20%，10%的4个维度的仓位的情况。> library(magrittr) # 定义现金流量函数：win=胜负结果,b=赔率,pos=仓位 > postion<-function(win,b=1,pos=0.6){ # 省略代码 + } # 设置胜负，1胜，0负 > win<-c(1,1,1,0,1,1,0,1,1,1) > prob<-0.8 # 胜率 > n<-10 # 赌局数 > b<-1 # 赔率 > caption<-100 # 金额 # 分别计算不同仓位的剩余现金 > pos90<-postion(win,b,0.9)*caption > pos60<-postion(win,b,0.6)*caption > pos40<-postion(win,b,0.4)*caption > pos20<-postion(win,b,0.2)*caption > pos10<-postion(win,b,0.1)*caption # 合并到数据框 > df1<-data.frame(win,pos90,pos60,pos40,pos20,pos10) # 打印计算结果 > df1 win pos90 pos60 pos40 pos20 pos10 1 1 190.0000 160.000 140.000 120.000 110.000 2 1 361.0000 256.000 196.000 144.000 121.000 3 1 685.9000 409.600 274.400 172.800 133.100 4 0 68.5900 163.840 164.640 138.240 119.790 5 1 130.3210 262.144 230.496 165.888 131.769 6 1 247.6099 419.430 322.694 199.066 144.946 7 0 24.7610 167.772 193.617 159.252 130.451 8 1 47.0459 268.435 271.063 191.103 143.496 9 1 89.3872 429.497 379.489 229.324 157.846 10 1 169.8356 687.195 531.284 275.188 173.631
我们看到，只是简单地调整了交易的仓位比例，那么交易10次后，你剩余的现是就是有很大的不同的。其中pos60列，即60%仓位的交易，获得的回报高为687元，而90%的仓位获得的回报，是这里面少的。而且非常有意思的是，后面的4种仓位设置，每次交易后的资金都大于100元的原始本金。
画出资金曲线> library(ggplot2) > library(scales) > library(reshape2) # 数据转型 > df1$num<-1:nrow(df1) > df<-melt(df1[,-1],id.vars="num") # 画图 > g<-ggplot(df,aes(x=num,y=value,colour=variable )) > g<-g+geom_line() > g
从图中可以看到，对于高胜率的情况，大的仓位是可以有高回报的，但是风险也大；小仓位是相对平稳的增长。
2. 凯利公式
那么多少的仓位是优的呢？接下来的问题，就是凯利公式会告诉我们的。
在概率论中，凯利公式（The Kelly Criterion）是一个用以使特定赌局中，拥有正期望值之重复行为长期增长率大化的公式，由约翰·拉里·凯利于1956年在《贝尔系统技术期刊》中发表，可用以计算出每次游戏中应投注的资金比例。
除可将长期增长率大化外，此公式不会在任何赌局中，有失去全部现有资金的可能，因此有不存在破产疑虑的优点。公式中，假设货币与赌局可无限分割，只要资金足够多，长期一定是会赚到钱的。
凯利公式的一般性陈述为，寻找能大化结果对数期望值的资本比例f，即可获得长期增长率的大化。对于只有两种结果的简单赌局而言，即 输失去所有本金，胜获得资金乘以特定的赔率。
可以用下面公式来表示：
其中
- f* 投注的比例
- b 赔率，盈亏比，即平均一次盈利与一次亏损两者的比例
- p 胜率
- q 败率，即 1 – p
用凯利公式对上面的例子进行测试，胜率p=0.8，失败率q=1-p=0.2，赔率b=1，失败则下注资金完全损失，计算下注比例为f* = (b*p-q)/b = (1*0.8-0.2)/1=0.6
所以，赌客应在每次机会中下注现有资金的60%，可以获得大化资金的长期增长率。
通过数学变型，可以很容易得到凯利公式的另一种表达式Kelly % = W – [(1 – W) / R]
其中Kelly % 就是上式中的f*，W就是p胜率，R就是b赔率。两者看似不同，其实完全等效一致。
对于上面的例子，我们可以计算Kelly % = W – [(1 – W) / R] = 0.8-[(1-0.8)/1] = 0.6
凯利公式，有一个优化的变型。如果每次下注失败后，不是全部亏损，只是亏损部分，我们对上面公式可以做一个优化，增加亏损比例参数c，公式改写为下面格式f* = (b*p-c*q)/c*b
其中
- f* 投注的比例
- b 赔率，盈亏比，即平均一次盈利与一次亏损两者的比例
- p 胜率
- q 败率，即 1 – p
- c 亏损比例
对于上面的例子，如果每次亏损是c=0.8，其他条件不变，那么我们应该用什么仓位进行交易呢？f* = (b*p-q)/b = (1*0.8-0.8*0.2)/(0.8*1)=0.8
通过计算结果是0.8，我可以增大仓位。
凯利公式定义了长期获得高的盈利的仓位确认的计算方法，我们自己也可以按照凯利公式的数学定义，进行推到一下。
假设一个赌局，每投资1，有p的概率可获得额外正收益W，有q=1-p的概率可获得额外的负收益-L，每次投资比例为x，建立收益为f(x)的目标函数，使得期望收益大化。
转化为规划问题：
从推到可看出，标准的凯利公式只是当L=1的情况是一个应用，通过优化可增加了亏损比例参数。
3. 赌局的优解
我们已经把公式介绍的很清楚了，那么接下来，就可以用程序实现进行实现了。# 凯利公式，实现函数 > kelly<-function(prob,b=1,loss=1){ # 省略代码 + }
用凯利公式计算的上文中的例子。prob<-0.8 # 胜率 b<-1 # 赔率 k<-kelly(prob,b,1);k [1] 0.6
这时通过凯利公式，我们就能算出优的解其实是0.6的仓位设置，也就可以解释，上面的结果60%的仓位占比，获得的收益是大的。
接下来，我们再比较一下不同的胜率和赔率的优解是什么？
大胜率和大赔率时，可以重仓。当80%的胜率，2倍赔率时，仓位为70%。> kelly(0.8,2) [1] 0.7
通常情况下的赌局，不足50%的胜率，高赔率时，可以轻仓。当45%的胜率，2倍赔率时，仓位为17.5%。> kelly(0.45,2) [1] 0.175
通常情况下的赌局，不足50%的胜率，低赔率时，不要参考。当45%的胜率，1倍赔率时，不参与赌局。> kelly(0.45,1) [1] "Lost!!!" [1] 0
小胜率，中等赔率时，不要参与。> kelly(0.2,1) [1] "Lost!!!" [1] 0
小胜率，中等赔率时，中等损失，不要参与。> kelly(0.2,1,0.5) [1] "Lost!!!" [1] 0
小胜率，中等赔率时，很小损失，可以All in。很小的损失比例，其实是变相的增大了赔率。> kelly(0.2,1,0.1) [1] "All In" [1] 1
大胜率，很小赔率，很小损失，All in。> kelly(0.8,0.1,0.1) [1] "All In" [1] 1
中胜率，很小赔率，很小损失，不要参与。> kelly(0.45,0.1,0.1) [1] "Lost!!!" [1] 0
总结一下，投机操作的游戏规则。
这样我们就判断出，哪些投机操作值得玩，哪些不能玩，应该怎么玩。是不是很神奇！！
4. 让时间帮我们赚钱
根据凯利公式的定义，赌局可以进行无限次，那么当真的把赌局设置为很大时，会是什么情况呢？
我们把次的数据，进行100次的赌局，胜率为80%，赔率为1，金额100元，看一下结果。> n<-100 # 赌局数 > prob<-0.8 # 胜率 > b<-1 # 赔率 > caption<-100 # 金额 # 基本二项分布，生成每盘的赌局正负 > set.seed(1) > win<-rbinom(n,1,prob) # 生成每盘的资金 > pos90<-postion(win,b,0.9)*caption # 90%仓位 > pos60<-postion(win,b,0.6)*caption # 60%仓位 > pos40<-postion(win,b,0.4)*caption # 40%仓位 > pos20<-postion(win,b,0.2)*caption # 20%仓位 > pos10<-postion(win,b,0.1)*caption # 10%仓位 # 打印数据 > df2<-data.frame(win,pos90,pos60,pos40,pos20,pos10) > tail(df2) win pos90 pos60 pos40 pos20 pos10 95 1 105083487 5.73375e+11 9874948167 5067085 34506.6 96 1 199658625 9.17399e+11 13824927434 6080503 37957.3 97 1 379351388 1.46784e+12 19354898407 7296603 41753.0 98 1 720767637 2.34854e+12 27096857770 8755924 45928.3 99 0 72076764 9.39417e+11 16258114662 7004739 41335.5 100 1 136945851 1.50307e+12 22761360527 8405687 45469.0
从100盘赌局后的结果来看，60%的仓位可以获得高收益的，为1.50307e+12，比其他的仓位都要高少非常。
接下来，我们生成资金曲线图。# 数据转型 > df2$num<-1:nrow(df2) > df<-melt(df2[,-1],id.vars = "num") # 画图 > g<-ggplot(df,aes(x=num,y=value,colour=variable )) > g<-g+geom_line() > g<-g+scale_y_log10() # y坐标轴log化 > g
资金曲线图能非常直观地告诉了我们，什么的仓位有什么样曲线形状。你如果追求低风险，就用10%仓位稳健上涨。90%接近满仓并不是赚钱的，反而是60%的仓位是有大的回报。
我们再用凯利公式进行计算，可以发现结果优的结果也是60%。> kelly(prob,1) [1] 0.6
神奇的算法，可以有效的帮我们控制仓位，大化长期收益。只要找到长期必胜的局，接下来就是让时间帮我们赚钱了。
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